2025版·《考点一遍过》高考文科数学考点16 正、余弦定理及解三角形.pdf

专题16正、余弦定理及解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2．应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

一、正弦定理

1．正弦定理

在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

==

sinAsinBsinC.正弦定理对任意三角形都成立．

2．常见变形

sinAasinCcsinBb

（1）,,,asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB;

sinBbsinAasinCc

abcabacbcabc

（2）;

sinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a:b:csinA:sinB:sinC;

abc

===2R

（4）正弦定理的推广：sinAsinBsinC，其中R为△ABC的外接圆的半径.

3．解决的问题

（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．

△ABCb

4．在中，已知，和时，三角形解的情况

aA

二、余弦定理

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.

2．余弦定理的推论

从余弦定理，可以得到它的推论：

b2c2a2c2a2b2a2b2c2

cosA,cosB,cosC

2bc2ca2ab

.

3．解决的问题

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．

4．利用余弦定理解三角形的步骤

三、解三角形的实际应用

1．三角形的面积公式

设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.

1

（1）Sah(h为BC边上的高)；

2

111

（2）SbcsinAacsinBabsinC；

222

1

（3）Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)．

2

2．三角形的高的公式

h=bsinC=csinB，h=csinA=asinC，h=asinB=bsinA．

ABC

3．测量中的