2025年新高考数学重难点02 空间角度与距离十一大题型汇总（解析版）.docx

重难点02空间角度与距离十一大题型汇总

技巧一.计算两点间的距离的两种方法

(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．

(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时

技巧二.用向量法求点线距的一般步骤

建立空间直角坐标系；

（2）求直线的方向向量；

（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；

（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化

技巧三.用向量法求点面距的步骤

建系：建立恰当的空间直角坐标系；

求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；

（3）求向量：求出相关向量的坐标（AP，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）；

（4）求距离d=|AP

技巧四.求直线与平面间的距离，

往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.

技巧五.求线面角的两种思路

（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.

（2）向量法．

方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sinθ=lcosφ|=

方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，

则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cosa，b|

技巧六.求面面角的步骤

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；

第二步然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；

第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论.

题型1两点距

【例题1】（2023春·福建泉州·高二校联考期末）空间直角坐标系O-xyz中，A(1,3,0)，B(0,3,1)，C(1,0,3)，点P在平面ABC内，且OP⊥平面

A．5 B．7 C．263 D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出平面ABC的法向量，再求出OP长，然后利用勾股定理求解作答.

【详解】由A(1,3,0)，B(0,3,1)，C(1,0,3)

设平面ABC的法向量n=(x,y,z)

有OA=(1,3,0)，而OP⊥平面ABC，于是

又|OA|=12+

故选：D

【变式1-1】1.（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为23的正三角形，AA1=7，顶点A

A．72 B．2 C．6 D．

【答案】D

【分析】设O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，以直线CO为x轴，OA1为z轴，过O平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，P

【详解】如图，O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，AO?

AB=23，则AO=23

CO⊥AB，直线CO交AB于点D，

以直线CO为x轴，OA1为z轴，过O平行于AB的直线为

则A1(0,0,3)，A(1,-

AA1=(-1,3,

AC

设n=(x,y,

则n?AC1=-4x+2

P，Q两点间距离的最小值即为异面直线AC1与A1

故选：D．

【变式1-1】2.（2022秋·浙江宁波·高二校联考期末）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为

【答案】2

【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系O-xyz，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点M,N分别为直线AB,CE上写出点M

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系O-

A-1,-1,0，B1,-1,0，C1,1,0，D

可得：CE

设Mx1

则有：CN→

可得：N

则有：MN

故MN

=

则当且仅当λ=4

故答案为：2

【变式1-1】3.（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图，已知四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=CD，点M

????

(1)证明：MN∥平面PDC；

(2)求M、N距离的最小值，并求此时二面角

【答案】(1)证明见解析

(2)最小值为2；正弦值为6

【分析】（1）作ME//AD交PD于E，作NF∥BC交DC于

（2）建系，利用空间向量可知当M是PA中点时，MN取到最小值，进而利用空间向量求二面角.

【详解】（1）作ME/