2025年新高考数学重难点04 空间直角坐标系建系方法（六种）汇总（原卷版）.docx

重难点04空间直角坐标系建系方法（六种）汇总

技巧一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行：

1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。

2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。

3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。

4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。

5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。

技巧二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系

技巧三.利用线面垂直建系

技巧四.利用面面垂直建系

技巧五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系

技巧六.利用图形中的对称关系建系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系.

题型1利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系

【例题1】（2023秋·天津津南·高二校考期末）如图，AE⊥平面ABCD,CF

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(1)求证：BF//平面ADE

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.

【变式1-1】1.（2023春·全国·高一期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿DE、DF折起，使A?C

??

(1)求证：A

(2)求直线AD与平面EFD

【变式1-1】2.（2023春·天津红桥·高一统考期末）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC

??

(1)求证：CD⊥平面PAD

(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；

(3)求B点到平面EAC的距离.

【变式1-1】3.（2023秋·新疆·高二校联考期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1

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(1)证明：AD1//

(2)求平面ACC1和平面

【变式1-1】4.（2023秋·云南保山·高三统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,M是PD

??

(1)求证：AM⊥平面PCD

(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线CD与BM所成角的正切值为2；②直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为23；③点D到平面ACM的距离为2

若___________，求平面MAB与平面MBC夹角的余弦值.

【变式1-1】5.（2023春·福建龙岩·高二统考期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1

??

(1)求证：AE⊥

(2)若△A1BC的面积为22，试判断在线段A1C上是否存在点D，使得二面角

题型2利用线面垂直建立空间直角坐标系

【例题2】（2022春·云南保山·高二统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC

(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

??

【变式2-1】1.（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=

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(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM//平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，

(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P

【变式2-1】2.（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°

??

(1)证明：平面EFC1⊥

(2)求平面EFC1和平面

【变式2-1】3.（2022秋·安徽亳州·高二校联考期末）如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC

(1)求证：平面BEF⊥平面PAC

(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为105？若存在，确定点G

【变式2-1】4.（2023秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C

(1)求证:AB⊥

(2)若∠B1BC=60°，直线AB与平面BB

【变式2-1】5.（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）已知三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=5，AB=BC

(1)求AA1与

(2)在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E-BC-B

【变式2-1】6.（2023春·吉林长春·高一长春十一高校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，

(1)求证：AN//平面PBC

(2)