2025年新高考数学重难点07 求圆的方程八大题型汇总（解析版）.docx

重难点07求圆的方程八大题型汇总

技巧一.几何法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

技巧二待定系数法：

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

技巧三．标准方程法

确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

技巧四．圆系方程

1.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

2.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．

题型1圆的标准方程法

【例题1】（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考期末）圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线x+3y

A．(x+3)2

C．(x-13)

【答案】A

【分析】根据题意，设圆心为坐标为(m，0)(m0)，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线x+3

【详解】根据题意，设圆心为坐标为(m，0),(

圆的半径为4，且与直线x+

则圆心到直线x+3y

解得：m=-3或13（舍)

则圆的坐标为(-3,0)，故所求圆的方程为(x

故选：A

【变式1-1】1.（2023春·上海杨浦·高二统考期末）以C1,1为圆心，且经过M2,3的圆的方程是

【答案】x

【分析】设出圆的标准方程，把M2,3代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程

【详解】因为圆心C1,1，故可设圆的标准方程为x

因为点M2,3在圆上，所以r

所以所求圆的方程为x-

故答案为：x

【变式1-1】2．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知点A(4,0),O(0,0),B(0,-3)，则△

【答案】(

【分析】根据给定条件，确定△AOB内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解作答

【详解】依题意，△AOB内切圆的圆心C在第四象限，并且到x、y轴距离相等，令此圆半径为r(r

直线AB方程为：x4+y-3=1，即

因此r=|3r-4(-

显然r|OB|=3，于是r

所以△AOB内切圆的方程为(

故答案为：(

【变式1-1】3.（2022秋·甘肃兰州·高二兰化一中校考期末）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，13，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图为该螺旋线在边长为1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为．

【答案】x

【分析】根据题意，分析要求的圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析即可得出答案.

【详解】根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13，其圆心为-

（根据题中图象规律发现），则其标准方程为x+4

故答案为：x+4

【变式1-1】4.（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，

A．(x-4)

C．(x-5)

【答案】D

【分析】先由条件确定点P的坐标，再求△APB外接圆的方程

【详解】设P(p,0),(p0)

tan∠APB

=-2p+8p1+(-2p

当且仅当p=16p时成立,解得p

设△APB的外接圆的方程为(

则a2+(2+b)2=

△APB的外接圆的方程为(

故选：D．

????

【变式1-1】5.（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知直线l：x-2y+4=0与圆C：x2+

(1)求圆心为D-3,3，过A，B两点的圆

(2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.

【答案】(1)x+3

(2)(x

【分析】（1）联立直线l与圆C的方程，求出交点A(-4,0)，B(0,2)

（2）当线段AB为圆的一条直径时，面积最小.求出AB=25以及线段AB

【详解】（1）解：联立直线l与圆C的方程x-2y

解得y1=0，y2=2，代入直线方程可得x1=-4，

又圆心为D