2025年新高考数学重难点09 直线与圆定点、定值、定直线五大题型汇总（原卷版）.docx

重难点09直线与圆定点、定值、定直线五大题型汇总

技巧一.求解直线（圆）过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点x0,y0，常利用直线的点斜式方程y

技巧二.求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

题型1直线过定点问题

【例题1】（2023秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4，若点P在直线x-y-4=0上运动，过点P

A．115,145 B．125,

【变式1-1】1.（2023秋·四川广元·高二统考期末）已知圆O:x2

(1)若圆O的弦AB恰好被点P2,1平分，求弦AB

(2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点；

(3)过点M2,2作两条相异的直线，分别与圆O相交于E，F两点，当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时，求证：线段EF的中点G在直线y

【变式1-1】2.（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A-1,-1，圆O:x2+y2=1，在直线AO上存在异于A的定点Q，使得对圆O

【变式1-1】3.（2022秋·安徽芜湖·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，过点P1,4，向圆C：x-m2+y2=

【变式1-1】4.（2023春·江苏·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x+22+y2=1，圆O2：x-2

(1)求动圆圆心M的轨迹方程E；

(2)是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB

【变式1-1】5.（2023秋·四川广元·高二统考期末）已知圆O:x2+y2

(1)若圆O的弦AB恰好被点P2,1平分,求弦AB所在直线的方程

(2)点Q是直线l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D,求直线CD经过的定点;

(3)过点M2,2作两条相异的直线,分别与圆O相交于E,F两点,当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时,求线段EF的中点G的轨迹方程

【变式1-1】6.（2023秋·重庆巫山·高二校考期末）已知圆C经过A1,3，B-1,1两点，且圆心在直线

(1)求圆C的标准方程；

(2)设直线l经过点2,-2，且l与圆C相交所得弦长为23，求直线l

(3)若Q是直线y=x+4上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点

【变式1-1】7.（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P为直线x+2y-35=0上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M

(1)当P在直线y=x上时，求

(2)当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

题型2圆过定点问题

【例题2】（2022秋·辽宁·高二校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy上，已知圆O的直径AB=2，定直线l到圆心的距离为2，且直线l垂直于直线AB，点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l与M、N

(1)求过点T1,2且与圆O

(2)若∠PAB=30

(3)当点P变化时，以MN为直径的圆是否过圆O内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．

【变式2-1】1．（2022秋·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）已知圆M:x2+(y-4)2=1，直线l:2x-y=0，点P

(1)若点P的坐标为(1,2)，过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD=2时，求直线

(2)求证：经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

【变式2-1】2.（2022秋·宁夏银川·高一银川一中校考期末）已知圆C：x2

(1)若过定点-2,0的直线l与圆C相切，求直线l

(2)若过定点-1,0且倾斜角为30°的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P

(3)问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【变式2-1】3.（多选）（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设m为实数，若方程x2+y

A．m

B．该圆必过定点0,1

C．若直线x-y+2=0被该圆截得的弦长为2，则

D．当m=-1时，该圆上的点到直线x-

【变式2-1】4.（多选）（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）圆M：x2