2025年新高考数学重难点15函数综合难题（复合函数、零点、高斯函数等）十二大题型汇总（原卷版）.docx

重难点15函数综合难题（复合函数、零点、高斯函数等）十二大题型汇总

技巧一.函数零点的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.

1.直接法即由fx

2.零点存在性定理法即利用fa

3.图象法即利用图象来判断函数的零点.

技巧二.关于复合函数的零点的判断问题，

先将零点问题转化为方程的解的问题；

解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.

技巧三.复合方程解的个数问题的解题策略为：

1.要能观察出复合的形式，分清内外层；

2.要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；

3.通过数形结合的方式解决问题.

技巧四.求解复合函数零点问题的技巧：

1.数形结合法.分别作出的图象；

2.若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围.

技巧五.利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

1.二次项系数的符号；

2.判别式；

3.对称轴的位置；

4.区间端点函数值的符号.

5.结合图象得出关于参数的不等式组求解.

技巧六.复合函数y=fg

1.即若外层函数ft与内层函数gx均单调递增，则

2.若外层函数ft与内层函数gx均单调递减，则

3.若外层函数ft单调递增，内层函数gx单调递减，则

4.若外层函数ft单调递减，内层函数gx单调递增，则

注意内层函数和外层函数的定义域的对应.

题型1抽象复合型零点个数问题

◆类型1中档难度

【例题1-1】（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数fx=-

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式1-1】1.（2022上·陕西宝鸡·高一校考期末）若函数fx=1+

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式1-1】2.（2023上·全国·高一专题练习）已知定义在0,+∞上的fx是单调函数，且对任意x∈0,+∞恒有

A．14 B．12

【变式1-1】3.（多选）（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知函数f(x)=x2-kx+1,x≤0

A．当k1，有1个零点 B．当k1时，有3个零点

C．当k0时，有9个零点 D．当k=-4时，有7个零点

【变式1-1】4.（多选）（2023上·全国·高一专题练习）已知函数y=fx和y=gx在

A．方程fgx=0有且只有6个不同的解

C．方程ffx=0有且只有5个不同的解

【变式1-1】5.（2023上·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期中）已知函数fx=3

A．4 B．3 C．2 D．1

◆类型2高档难度

【例题1-2】（多选）（2023上·山东烟台·高一校考期末）已知函数fx=ax+1,x≤0

A．当a0时，g(x)有4个零点 B．当a0时，g(x)有5个零点

C．当a0时，g(x)有1个零点 D．当a0时，g(x)有2个零点

【变式1-2】1.（多选）（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数fx=-

A．若x=0，则ffx=0 B．若

C．若m=4，则gx有3个零点 D．若3m4，则g

【变式1-2】2.（多选）（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知函数f(x)=x2-kx+1,x≤0

A．当k1，有1个零点 B．当k1时，有3个零点

C．当k0时，有9个零点 D．当k=-4时，有7个零点

【变式1-2】3.（多选）（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）已知函数fx=x+1

A．4 B．6 C．7 D．9

【变式1-2】4.（多选）（2023上·广东茂名·高一校联考阶段练习）已知函数f(x)=x

A．若f(x+2)为偶函数，则a=4

B．若x∈[0,m]，f(x)的值域为[0,m]，则0m≤1

C．若关于x的方程|f(x)|=x+1有4个不同的实数根，则a-1或a3

D．?a∈R，关于x的方程f(f(x))=ax

【变式1-2】5.（多选）（2023上·辽宁·高一沈阳市第五十六中学校联考期中）已知函数fx

A．函数f(x)在(-2,0)∪(3,+∞

B．若方程f(x)=a有3个不等的实根x1,x2

C．若方程f(x)=a有3个不等的实根x1,x2

D．方程f(f(x))=f(x)有4个不等的实根

【变式1-2】6.（多选）（2023上·吉林长春·高一吉林省实验校考期中）已知函数fx

A．当m-2，n-2时，f(m+n)=f(m)+f(n)+8

B．对于?x1∈0

C．函数y=f(f(x))+a(a∈R)可能有

D．若满足不等式x(f(x)-a)≥0成立的整数x恰有两个，则整数a的取值有9个

【变式1-2】7.（2023上·重庆·高一四川外国语大学