2025年新高考数学专题2-2 直线与圆距离问题十一大题型汇总（解析版）.docx

专题2-2直线与圆距离问题十一大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1两点间的距离问题 1

题型2点到直线的距离问题 2

题型3平行线中的距离问题 6

题型4和差距离最值问题 9

题型5点到直线距离最值问题 17

题型6曲线上的点到直线距离最值问题 22

题型7圆上的点与点距离最值问题 28

题型8圆上的点与直线距离最值问题 32

题型9圆上的点到直线距离为定值问题 38

题型10两圆上的点之间的距离最值问题 42

题型11切线长相关最值问题 46

知识点一.两点间的距离

定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（

知识点二.点到直线的距离

1.点到直线的距离公式

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))

2.点到特殊直线的距离公式

点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.

知识点三.两条平行直线之间的距离

1.两条平行线之间的距离

两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

2.两条平行线之间的距离公式

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

题型1两点间的距离问题

【方法总结】

两点间的距离公式为：.

【例题1】（2023秋·高二课时练习）（1）求A3,5，B

（2）已知点A3,6，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P

【答案】（1）210；（2）-5,0

【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算可得；

（2）设Px,0

【详解】（1）因为A3,5，B-3,3

（2）设Px,0，则PA=x-

所以P-5,0

【变式1-1】1.已知点A(－3，4)，B(2，eq\r(3))，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；

【解析】设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|＝eq\r(?x＋3?2＋?0－4?2)＝eq\r(x2＋6x＋25)，

|PB|＝eq\r(?x－2?2＋?0－\r(3)?2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))2＋?0－4?2)＝eq\f(2\r(109),5).

【变式1-1】2.已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7eq\r(2)，求x的值．

【解析】由|MN|＝7eq\r(2)，得|MN|＝eq\r(?x－2?2＋?－4－3?2)＝7eq\r(2)，即x2－4x－45＝0，

解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.

【变式1-1】3.到A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是()

A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0

C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0

【答案】B

【解析】设P(x，y)，则eq\r(?x－1?2＋?y－3?2)＝eq\r(?x＋5?2＋?y－1?2)，即3x＋y＋4＝0.（两种方法几何与代数）

题型2点到直线的距离问题

【方法总结】

点到直线的距离

已知直线l:Ax+By+C=0，点P

【例题2】（2023秋·高二课时练习）在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为

【答案】P2,4或325,645

【分析】设Pm,n，然后根据题意列方程组可求出m,n，再求出直线

【详解】设Pm,n，由题意2m-

所以P2,4或32

当P2,4时，直线PM的斜率k

因此直线PM方程为y-4=4

当P325,645

因此直线PM方程为y-8=24

【变式2-1】1.（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知点A2,1，点B在直线x-y+3=0上，则

A．5 B．26 C．22 D．

【答案】C

【分析】根据点和直线的位置关系，易知当AB与直线垂直时满足题意，求出点A到直线x-y

【详解】如下图所示：

??

易知当AB与直线x-y+3=0垂直，且B

此时AB的最小值为点A到直线x-

即ABmin

故选：C

【变式2-1】2.（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县