2025年新高考数学专题4-2抽象函数单调性奇偶性解题技巧十八大题型汇总（原卷版）.docxVIP

专题4-2抽象函数单调性奇偶性解题技巧十八大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1类比对数型求单调性 1

题型2类比对数型求奇偶性 2

题型3类比指数型求单调性 4

题型4类比指数型求奇偶性 5

题型5保和型函数的单调性 5

题型6保和型函数的奇偶性 6

题型7保型下移函数的单调性 8

题型8保型下移函数的奇偶性 10

题型9保和型上移函数的单调性 11

题型10保和型上移函数的奇偶性 12

题型11保积型函数的单调性 13

题型12保积型函数的奇偶性 14

题型13分式型函数 15

题型14多项式型函数 16

题型15类比余弦型求单调性 17

题型16类比余弦型求奇偶性 18

题型17类比正切型函数 19

题型18综合型函数 20

题型1类比对数型求单调性

形如f(

基本技巧是赋值，有如下规律技巧：

1．第一层次赋值：常常令字母取0，-1，1．

2．第二层次赋值：若题中有条件f（x0

3．第三层次赋值：拆分赋值．根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）．如4=2X2，8=4X2；拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例题1】（2023上·广西·高一校联考阶段练习）已知函数fx的定义域为0,+∞，对?x，y∈0,+∞总有fxy

(1)判断并证明函数fx

(2)若f2=2，求解关于x的不等式f

【变式1-1】1.（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）设函数fx的定义域是0,+∞，且对任意的正实数x,y都有fxy

(1)判断并证明函数fx在0,+

(2)若f4=4，求不等式f

【变式1-1】2.（2020上·重庆沙坪坝·高一重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知函数fx的定义域是0,+∞，对定义域内的任意x1,x2都有

(1)证明：当x1时，f

(2)判断fx

(3)如果对任意的x1,x2∈0,+

【变式1-1】3.（2023上·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数fx对于?x，y∈0,+∞，都满足

(1)求f1

(2)根据定义，研究fx在0,+

【变式1-1】4.（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且满足：当x1时，fx2，?

(1)判断函数y=

(2)若当x∈12,1时，关于x的不等式f

题型2类比对数型求奇偶性

形如f(

赋值规律：

1．可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f(1)等，

2．尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等

【例题2】（2021上·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数fx的定义域为D=x|x≠0，且满足对于任意

(1)判断fx

(2)如果f4=1，fx-12，且

【变式2-1】1.（2019上·云南曲靖·高一校考期中）已知定义域为I=-∞,0∪0,+∞

(1)求证：fx

(2)设x1时f

①求证：fx在0,+

②求不等式fx

【变式2-1】2.（2022上·云南昆明·高一校考期中）定义在-∞,0∪0,+∞

(1)求f-

(2)判断函数y=f

【变式2-1】3.（2021上·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数fx的定义域为D=x|x≠0，且满足对于任意

(1)判断fx

(2)如果f4=1，fx-12，且

【变式2-1】4.（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）定义在x∣x≠0上的函数fx满足：对任意s,t∈

(1)判断函数fx

(2)若f1+2x+3x

题型3类比指数型求单调性

形如f(

【例题3】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a,b∈R，都有f(

(1)求f(0)的值，并证明：当x0时，

(2)判断f(x

(3)若f(2)=12，求不等式

【变式3-1】1.（2023上·河南开封·高一统考期中）设函数fx的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m

(1)求证：f(0)=1，且当x0时，有

(2)判断f(x)

(3)试举出一个满足条件的函数fx

【变式3-1】2.（2023·全国·高一课堂例题）设函数fx的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有fm+n=

(1)求证：f0=1，且当x0

(2)判断fx在R

(3)试举出一个满足条件的函数fx

题型4类比指数型求奇偶性

【例题4】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知定义在R上的函数fx满足对任意的实数x,y均有fxy=fx

(1)判断并证明fx

(2)判断fx在0,+

(3)若对任意x1,x2∈-

题型5保和型函数的单调性

证明单调性，实质就是构造定义法，在x1