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利用导数解决实际问题【题集】
体积、面积问题
1.用长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长，那么容器
的最大容积为．
【答案】
【解析】设容器底面短边长为，则另一边长为，高为
，
由和，得，
设容器的容积为，则有，
整理得，，
∴，
令，有，即，
解得，（舍去），
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
∴当时，取得最大值，，
此时，高为，
故当容器的高为时容积最大，最大容积为．
故答案为：．
【标注】【知识点】导数的实际应用
2.一个等腰三角形的周长为，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都
绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为（）．
A.B.
1
C.D.
【答案】A
【解析】四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为，
则有，
．
设，
则，
由，可得（舍）或．
∴．
故选．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；直接求函数的最值（不含参）
3.如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并
以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面，问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
【答案】
以为底、为高，且时，体积最大．
【解析】设正三角形边长为，如图，
2
设，则，，
若以为底、为高，则圆柱底面半径，
，，
，
当时，，当时，，
所以，
若以为底，为高，则圆柱底面半径，
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