高二数学上学期直线与圆的综合(教师版).pdf

直线与圆的综合

学习目标

1．掌握直线和圆位置关系相关应用问题．

2．掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题．

3．掌握求解与圆有关的最值问题和与圆有关的对称问题的方法．

【备注】

1、本讲的重点是掌握直线和圆位置关系相关应用问题（求切线方程问题、求切线长问题、

求相交弦长问题）、掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题、掌握求解

与圆有关的轨迹问题、最值问题和与圆有关的对称问题的方法．

2、关联知识：直线方程、圆的方程．

一、直线与圆的位置关系应用

1.求圆的切线的方法

（1）自一点引圆的切线的条数

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．

（2）圆的切线方程的求法

①求过圆上一点的圆的切线方程：

先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若

，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．

②求过圆外一点的圆的切线方程

几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得

，切线方程即可求出．

代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次

方程，由求得，切线方程即可求出．

注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜

率一定不存在，可用数形结合法求出．

1

经典例题

1.过点与圆所引的切线方程为．

【备注】

本题由于点在直线外，所以应用方法②，这里需要注意考虑切线斜率是否存在问题

【答案】，

【解析】点在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为，符合题意；

当切线的斜率存在时，可设过点的切线方程为，

圆心到切线的距离等于半径，可得，

解得，从而切线为．

【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算

2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．

A.B.C.D.

【备注】

本题虽然没有直接表示在圆上，但是将点代入圆的方程会发现此点为切点

【答案】D

【解析】根据题意，圆，对于点，

有，

即点在圆上，

则切线的方程为，

变形可得，

直线在轴上的截距为．

故选．

【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的斜截式方程

3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围

是．

【备注】

本题首先需要知道点与圆有两条切线的情况为：点在圆外

【答案】

2

【解析】利用点与圆的位置关系可知点在圆外就可以作两条切线．圆的方程可化为

．则有