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空间向量的应用
学习目标
1．熟练掌握利用空间向量证明直线、平面的平行或垂直．
2．掌握利用空间向量求距离的方法．
3．掌握利用空间向量求角的方法．
【备注】
1．本讲的重点是掌握利用空间向量证明平行、垂直以及求角和距离的方法；难点是存在性
问题的求解方法．
2．关联知识：空间向量、立体几何．
一、用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.利用空间向量证明直线与直线的平行或垂直
（1）方向向量：一般地，如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线
段所在的直线与平行或重合，则称是直线的一个方向向量.
（2）设直线和的方向向量分别为和，则有：
；
．
【备注】
证明直线与直线的平行或垂直首选方法是利用判定定理来证明，如果判定定理不能直接判
定，选择空间向量来证明直线与直线的平行或垂直.
经典例题
1.已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（）．
A.，B.，C.，D.，
【备注】
判断两直线平行应用数乘运算建立方程求解即可
【答案】D
【解析】∵，
∴存在非零实数使得，
1
∴得．
故选．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；空间向量的正交分解及其坐标表示；空间向
量线性运算的坐标表示
2.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是
，的中点．
（1）求证：．
【备注】
建立空间直角坐标系，表示出向量，利用两个向量垂直向量点乘为求解即可
【答案】（1）证明见解析．
（2）为的中点．
【解析】（1）由题意知：分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
如图：
2
设，则，，，，
，，，
所以，
所以．
（2）设点，则平面，且，
要使平面，只需，．
因为
，
，
所以，．
故点的坐标为，
即点为的中点．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解
决空间中的平行问题
巩固练习
1.的方向向量为，的方向向量为，若，则等于（）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵，
3
∴，则，
∴．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；空间向量线性运算的坐标表示
2.如图所示，在正方体中，
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