中考备考攻坚课程第二讲：选择题难点突破2：几何图形轨迹最值问题 （教学设计).docx

（2025年）

中考选择题难点突破2：《几何图形轨迹（最值）问题》

---------邓雪玲

知识梳理

几何图形轨迹最值问题是中考的热点问题,题型丰富,变化灵活,综合性强,考查的知识点众多,涉及数形结合、转化等多种数学思想,考查了学生的添加辅助线,依题画图,建构知识体系等能力,一般都是各题型的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养。

初中数学的几何动点最值问题其实都来自两个基本图形：

定点到定点：两点之间，线段最短

定点到定线：点线之间，垂线段最短

在此基础上又产生了以下基础图形和结论：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

平行线之间，垂线段最短

点圆最值：点圆之间，点心线截距最短（长）

线圆最值：心垂线截距最短

解决几何最值问题的主要方法是转化，通过变化过程中不变特征的分析，利用几何变换（比如等值变换：平移、旋转、轴对称；比例变换：三角函数、相似图形性质）等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的基本结构进而解决问题。

教学过程：

模块一：动点轨迹在直线上

【设计意图】通过尝试解决例1、例2，使学生体会：当动点轨迹明确是直线（或线段，射线）时，动中求静，找到变化过程中的不变量是解决问题的关键，可以利用对称，平移，三角函数等知识，化同为异，化折为直的思维方法解决，可以回顾将军饮马，建桥选址，胡不归等常见模型。

【例题精讲】

例1：如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，E为边AC上的动点，F为边

A.532 B.52 C.5

【解答】B

如图，作点F关于AC的对称点F，连接AF并延长交BC的延长线于B

∴∠BA

∴FE

∴当B，E，F三点共线且与AB垂直时，线段FE+EB的值最小，即作BD⊥

例2：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B

变式思考：（1）本题若求“2AM+BM”

（2）本题若求“AM+BM+CM

(3)若四边形□ABCD是菱形，AB=5，对角线BD的长为45，点M为BD上一点，则

【解答】2

如何将12BM转化为其他线段

本题k值为12，可转化为某一角的正弦值，即转化为30°角的正

思考到这里，不难发现，只要作MN垂直BC于点N，则MN=12BM，即AM+

如图，作AN⊥BC，垂足为N，AN交

∵四边形ABCD是菱形且∠ABC

∴∠DBC

∴1

即AM+12

在Rt△ABN中，AN

∴AM+1

【变式思考答案】（1）43（2）4

模块一：跟进练习解答

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，

【解答】2.4

∵Rt△ABC中，

∴AB=5

PD⊥AC于点

∴四边形CDPE是矩形

∴

当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知CP⊥AB时，CP最小

∴

2、如图，□ABCD中，∠DAB=60°,AB=6,

【解答】3

如图，过点P作PE⊥AD交AD延长线于点

在Rt△PDE中，易得PE=32PD，∴PB+32PD=PB+PE

3、如图，△ABC中，AB=AC=10，tan?A=2，BE⊥AC

A.25 B.45 C.5

【解答】B

如图，作DH⊥AB于点H，

∵BE

∵AB

∴在Rt△ABE中，

∴AE=25

∵AB

∵DH

∴DH

∴CD+DH

4、如图①,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,E为AB的中点，F为EC上一动点，

(1)画出当F从点E运动到点C时,点P的运动轨迹;

(2)如图②,连接PB求PB的最小值.

【解答】3

取DE的中点M，连接MP并延长，交CD于点N，连接BN.∵点M，P分别是DE，DF的中点，∴MP//EF，∴∠DMN=∠DEC，∴△DMN∽△DEC，∴MN

∵在矩形ABCD中，AB=6，AD=3

∴△CBE，△ADE，△BCN均为等腰直角三角形，CN=3，∴∠ADE=∠CDE

5、如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45,BD⊥AC交AC于点

【解答】165

过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD=4，AD=3，根据sin?∠ABD=ADAB=DP

过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH

∵BD

∴∠ADB

∵sin?A=BD

由勾股定理得AD=

∴sin

∴DP

∴PC

即点C、P、D三点共线时，PC+35

∵

∴4

∴CH

∴PC+3

故答案为：165

6、如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，ABC=60°，△ABC沿射线BD的方向平移得到△A

【解答】3

作直线AA，并作点C关于直线AA的对称点E，连接EA，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°

∴

∴AC+B

∵AC=AE=AD=1

∴∠E=12

∴

即AC+

方