专题06 平面向量与解三角形（7大易错点 典例 避错 举一反三 通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）（解析版）.docx

专题06平面向量与解三角形

目录

题型一：平面向量

易错点01对平面向量的基本概念理解不到位

易错点02忽略平面向量夹角的范围与方向性

易错点03忽略向量共线时的两种情况

易错点04错用平面向量的运算律

题型二：解三角形

易错点05解三角形时错判解的个数

易错点06忽略边角互化条件

易错点07忽略三角形中的隐含条件

题型一：平面向量

易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

典例（24-25高二下·全国·课后作业）在下列结论中，其中正确的是（????）

A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行

B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面

C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面

D．已知空间的两个不共线向量，，对于空间的一个向量，存在实数x，y，使得，则向量与向量，共面

【答案】D

【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A，向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故A错误；

选项B，根据空间向量的意义知，空间任意两个向量都共面，故B错误.

选项C，由于三个向量两两共面，但是不一定共面，故C错误；

选项D，已知向量是空间的一个基底，若，则向量共面，D选项正确.

故选：D.

【易错剖析】

在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避错攻略】

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．

(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：零向量与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

【解读】(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．

(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

【解读】共线向量定理中规定a≠0原因：(1)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；(2)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．

因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．

易错提醒：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．

1．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（????）

A．① B．③ C．①③ D．①②

【答案】A

【分析】由向量的有关概念逐项判断即可.

【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，

且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，

故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量与互为相反向量，故③错误.

故选：A.

2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（????）

A．若与都是单位向量，则.

B．“”是“”的必要不充分条件.

C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线.

D．若，则.

【答案】A

【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.

【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，

所以得不到，A错误；

对B，“”推不出“”，但“”能推出“”，

所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；

对C，因为与反向共线，

且，都为单位向