2025年新高考数学重难点04 空间直角坐标系建系方法（六种）汇总（解析版）.docx

重难点04空间直角坐标系建系方法（六种）汇总

技巧一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行：

1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。

2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。

3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。

4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。

5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。

技巧二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系

技巧三.利用线面垂直建系

技巧四.利用面面垂直建系

技巧五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系

技巧六.利用图形中的对称关系建系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系.

题型1利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系

【例题1】（2023秋·天津津南·高二校考期末）如图，AE⊥平面ABCD,CF

??

(1)求证：BF//平面ADE

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)49

(3)69

【分析】（1）利用线面平行的判定证CF//面ADE、BC//面ADE，再由面面平行的判定得面BCF//

（2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值；

（3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值；

【详解】（1）由CF//AE，CF?面ADE，AE?面ADE，则

由AD//BC，BC?面ADE，AD?面ADE，则

而CF∩BC=C，CF,BC?

由BF?面BCF，则BF//平面

（2）由AE⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，则

以A为原点构建空间直角坐标系A-xyz，AB=

所以B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)

令面BDE的一个法向量m=(x,y,z)

所以|cosm,CE|=|m?

??

（3）由（2）知：F(1,2,1)，则BF=(0,2,1)

令面BDF的一个法向量n=(a,b,c)

所以|cosm,n|=|m?

【变式1-1】1.（2023春·全国·高一期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿DE、DF折起，使A?C

??

(1)求证：A

(2)求直线AD与平面EFD

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）由图形性质可由线线垂直证明AD⊥

（2）方法一：建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EFD的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解线面角的正弦值即可.

方法二：利用几何法构造线面角，通过求解三角形计算即可.

【详解】（1）在正方形ABCD中，有AD⊥

则A

又AE∩AF=A，

而EF?平面AEF，

（2）方法一：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴EB=

∴EF=

∴A

由（1）得AD⊥

??

∴分别以AE,A

则E1,0,0

∴DE=

设平面DEF的一个法向量为n=

则有n?DE=

令直线AD与平面EFD所成角为

∴sinα

∴直线AD与平面EFD所成角的正弦值为

方法二：连接BD交EF于点G，连接A

∵正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴BE=

∴点G为EF的中点，则BD⊥

又AE=A

又AG∩BD=G,A

又EF?面BEDF，所以面BEDF⊥平面

平面BEDF∩平面AGD=BD，∴A

则∠ADG为直线A

??

由（1）可得AG⊥A

在正方形ABCD中，EF//AC，

易得BD=22,

又AD=2，

∴sin∠

∴直线AD与平面EFD所成角的正弦值为

【变式1-1】2.（2023春·天津红桥·高一统考期末）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC

??

(1)求证：CD⊥平面PAD

(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；

(3)求B点到平面EAC的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

(3)4

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得CD⊥平面PAD

（2）利用向量法求得平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；

（3）利用向量法求得B点到平面EAC的距离.

【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，AB,AD?平面

由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥

由此，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，

则A(0,0,0),

所以AB=(2,0,0),

因为CD?AD=0

由于CD?AP=0

由于AD∩AP=A，

所以CD⊥平面PAD

（2）