高一数学培优正弦定理与余弦定理的实际应用-讲义（学生版）.pdf

正弦定理与余弦定理的实际应用

一、课堂目标

掌握解三角形的实际应用问题：求距离、高度和角度．

二、知识讲解

1.解三角形的实际应用问题

知识精讲

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，主要涉及在测量距离、高度、角度等问题中的一些应

用．在这些应用问题中，测量者借助于经纬仪与钢卷尺等测量角和距离的工具进行测量．

（1）测量距离问题：多考查测量地面上两个不能到达的地方之间的距离．

（2）测量高度问题：多考查测量顶部不能或不便到达的建筑物的高度．

（3）测量角度问题：多考查涉及方向角的航海类问题．

2.解三角形的实际应用问题的常用术语

知识精讲

（1）仰角与俯角

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的

叫做俯角．

（2）方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是

．

1

（3）方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．

①北偏东：

②南偏西：

（4）坡角与坡度

坡角：坡面与水平面的夹角；

坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比．

则

3.解三角形应用题的步骤

知识精讲

①准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、方位

角、方向角等；

②将实际问题中的各种元素提出来，分清已知与所求，抓住主要元素（角和线段）构造出一个或多个三

角形，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；

③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学

模型，然后正确求解；

④检验：检验上述所求的解是否符合题意，从而得出实际问题的解.

2

4.测量高度问题

知识精讲

测量底部可以到达的建筑物高度，可以通过解直角三角形解决.测量底部不可以到达的建筑物的高度，具

体方法如下：

方法①：如下图，表示建筑物，在地面上选取与点共线的两点.测量出的长，再测出

，则.由正弦定理，得.在中，求得的长.

方法②：如下图，表示建筑物，在地面上选取两点，测量出的长，再测出

，在中，由正弦定理可得，在中，求得

的长.

经典例题

1.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为，

，且、两点间的距离为，则树的高度为（）．

3

A.B.

C.D.

巩固练习

2.海春轩塔（又名广福寺塔），江苏第一古塔，为唐代建筑物，位于江苏省东台市古镇西溪．距今已

有多年历史，为东台西溪旅游观光主要景点之一．在一次春游活动中，同学们为了估算塔高，

某同学在该塔正西方向的处测得该塔仰角为，对着塔向正东方向前进了米到达处后测得该

塔仰角为，则该塔的高度估计为（）．

A.米B.米C.米D.米

3.如图，为测一塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得为，再沿方向前

行米到达点，测得为，则塔高为（）米．

A.B.C.D