高一数学培优空间中的点线面位置关系-讲义（教师版）.pdf

空间中的点线面位置关系

一、课堂目标

1．理解平面的概念和平面的性质．

2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．

【备注】【教师指导】

1．本讲的重点是理解平面的性质：三个基本事实，掌握直线与直线、直线与平面以及平面

与平面之间的关系和应用.本讲属于空间立体几何的基础知识，是空间直线、平面的平行与

垂直的基础．

2．本讲的关联知识：空间几何体的结构，空间直线、平面的平行与垂直．

二、知识讲解

1.平面

知识精讲

（1）平面的概念

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．

立体几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的（没

有大小，不可度量），并且它没有厚度．

（2）平面的画法

我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如下图（左），平行四边形的锐

角通常画成，且横边长等于其邻边长的倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体

感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如下图（右）．

1

（3）平面的表示

为了表示平面，我们常把希腊字母，，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图中的平面

、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个

平面的名称，例如上图中的平面也可以表示为：平面、平面或者平面．

区别于平面的表示方法，我们通常用大写英文字母、、表示点，用小写英文字母、、表示直

线．

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．如下图：点在平面内，记作；点在平面外，

记作．

2.平面的性质

知识精讲

基本事实1：

①内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

②作用：刻画了平面特有的基本性质，它给出了确定一个平面的依据.

不在一条直线上（简称为“不共线”）的三个点，，可以确定一个平面，并且此平面可以记成“平面

”，如下图：

基本事实2：

①内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（见下图）．

②作用：此公理的作用时可以判断直线是否在平面内．

2

③符号表示：点动成线、线动成面．因此直线、平面都可以看成以点为元素的集合．点在直线上，记

作；点在直线外，记作．如果直线上的所有点都在平面内，就说直线在平面内，或者

说平面经过直线，记作；否则，就说直线在平面外，记作．

这样，基本事实2可以用下面的符号语言简化表示：

．

基本事实3：

①内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

②作用：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共

点．也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面

的两个公共点，就找出了它们的交线．

平面与相交于直线，记作，如下图．

③符号表示：．

知识点睛

利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

经典例题

1.下列说法正确的是（）．

3

A.三点确定一个平面B.四边相等的四边形是菱形

C.梯形一定是平面图形D.两平面有不同在一条直线上的三个交点

【备注】【教师指导】

本题主要考查平面的概念.

【答案】C

【解析】选项：由基本事