2025年新高考数学专题2-8 动点轨迹方程五种题型汇总（原卷版）.docx

专题2-8动点轨迹方程五种题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1直接法 2

题型2定义法 3

题型3相关点法 5

题型4交轨法 7

题型5参数法 9

知识点一.直接法求动点的轨迹方程

定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.

知识点二.定义法求轨迹方程

若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

知识点三.相关点法求轨迹方程

若动点Px?,?y的变动依赖于另一动点Qx0?,?y0，而Q在某已知曲线Fx?,?y=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式x0=f

知识点四.交轨法求轨迹方程

定义：如果一个动点是两条动曲线的交点，那么选取参数并把参数看成已知数，写出这两条动曲线的方程，再联立两动曲线的方程，消去参数，或者动曲线的方程与定曲线的方程联立，消去x或y，转化为一元二次方程，再消去参数，便得到动点的轨迹方程．这种求动点的轨迹方程的方法，我们称之为交轨法．

知识点二.参数法求动点的轨迹方程

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标x?,?y

题型1直接法

【方法总结】

直接法求动点轨迹方程的一般步骤为：

第一步，根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.)

第二步，根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程.

【例题1】（23·24上·大兴·期中）已知等腰三角形ABC的顶点为A(4??，???2)，底边的一个端点为B

【变式1-1】1.（23·24上·北京·期中）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A-4,0,

【变式1-1】2.（23·24上·全国·课时练习）如图，已知点A，B的坐标分别为-2,0，2,0，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是14，求点P

??

【变式1-1】3.（23·24上·全国·课时练习）已知两条直线l1:y=

【变式1-1】4.（23·24上·昆明·期中）若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2

A．y2-4

C．y2+4x

题型2定义法

【方法总结】

常见情形

1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．

2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．

3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．

4．平面内一个动点P到两个定点F1?,?F2的距离之和等于常数（PF

5．平面内一个动点P到两个定点F1?,?F2的距离之差的绝对值等于常数（PF

6．平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离之比对于常数ee0的动点的轨迹是圆锥曲线．当0e1时为椭圆；当e1时为双曲线；当e

【例题2】（23·24上·全国·课时练习）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且abc，A、C两点的坐标分别为(-1,0),(1,0)

【变式2-1】1.（23·24上·上海·课时练习）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作OM，使OM⊥AB

【变式2-1】2.（22·23上·全国·课时练习）求下列动圆的圆心M的轨迹方程：

(1)与圆C1:x

(2)与圆C1:x

【变式2-1】3.（21·22·全国·专题练习）已知两圆C1：x+42+y2=9,C2：x

A．y27-

C．x27-

【变式2-1】4.（22·23上·广州·期末）已知A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F

A．y2-x

C．y248-

题型3相关点法

【方法总结】

相关点法解题步骤

一般分为三步：

第一步，设所求轨迹的点Mx?,

第二步，找出Mx?,?y与Qx0

第三步，Qx0?

而从动点的坐标x?,?

①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等．下面举例说明．

【例题3】（23·24上·南阳·阶段练习）已知点P是圆O:x2+y2=4上的动点，作PH⊥y

A．x24+y2=1 B．x

【变式3-1】1.（23·24上·临夏·期中