2025年新高考数学专题2-9 抛物线性质十一大题型汇总（解析版）.docx

专题2-9抛物线性质十一大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1抛物线定义 2

题型2焦半径 6

题型3焦半径二级结论 10

题型4焦点弦 14

题型5中位线相关 23

题型6焦点定比值二级结论 30

题型7切线 35

题型8最值与取值范围 43

题型9抛物线与圆 49

题型10抛物线与椭圆 56

题型11抛物线与双曲线 63

知识点一.抛物线有关知识：

1.抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p0

y2＝－2px（p0

x2＝2py（p0

x2＝－2py（p0

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O（0，0）

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

3．重要公式

（1）弦长公式：AB=1+

（2）韦达定理：x1+x

4.重要结论

抛物线y2＝2px（p0）焦点弦AB，设A（x1，y1）、B（x2，y2），

（1）焦半径问题：

①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2＋

②焦点弦：|AB|＝x1+x2＋p＝2psin2α（其中，α为直线AB

焦半径公式得：AF=p1-cosθ，

（2）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝p24

（3）其他结论：①S△OAB＝p22sinα（其中，α为直线AB的倾斜角）；????②以AB

题型1抛物线定义

【例题1】（23·24上·南阳·期中）已知直线l：y=-x+p2p0与抛物线C：y2=2px交于A，B

A．y2=2x B．y2=4x

【答案】C

【分析】设出A和B两点的坐标，把l与C联立得到x1+x2，l经过点C的焦点，进而根据

【详解】设Ax1,y1，B

得y=-x-p2

则Δ0，x1+x2=3p

∴AB=x1+

∴C的方程为y2

故选：C.

【变式1-1】1.（22·23上·榆林·期末）已知点Pm,n为抛物线C：y2=4x上的点，且点P到抛物线

【答案】2

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.

【详解】抛物线C:y2=4x

因为点P(m,n)为抛物线C:y2=4

所以点P到抛物线C的准线的距离为m+1=3，解得m

故答案为：2

【变式1-1】2.（23·24上·张掖·阶段练习）已知抛物线x2=2py(p0)的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，

A．120° B．150° C．30°或150° D

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义与性质解三角形求对应线段夹角及直线倾斜角即可.

【详解】如图所示，易知F0,

所以4OF

故∠FQE

又由抛物线定义可知FE=

????

故直线EF的倾斜角为60°

故选：B.

【变式1-1】3.（23·24上·成都·阶段练习）已知动圆M恒过点(1,0)，且与直线x=-1相切，设圆心M的轨迹方程曲线C，直线l1:x-my-5=0与曲线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线x

A．57 B．37 C．67

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义得到点M的轨迹方程为y2=4x，根据焦半径公式和QF=3得到xQ=2

【详解】??

由题意得点M到1,0的距离等于到直线x=-1的距离，所以点M的轨迹为抛物线，方程为y

如图所示，∵抛物线y2=4x．|

联立x-my-5=0y2

则SΔ

故选：C．

【变式1-1】4.（17·18上·潮州·期末）如果点P1,P2,P3,P4是抛物线C:y

A．8 B．18 C．10 D．20

【答案】B

【详解】由抛物线方程可知p=4

|

=

=10+2p

本题选择B选项.

点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题

题型2焦半径

【方法总结】

焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1+p2，|BF|＝

由对称性，可得如下对称结论：

（1）焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,

（2）焦点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,

（3）焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,

（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,

【例题2】（23·24上·成都·开学考试）已知△ABC的顶点在抛物线y2=2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC

A．1 B．2