2025版·《考点一遍过》高考文科数学考点51 不等式选讲.pdf

专题51不等式选讲

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1）abab.

（2）abaccb.

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

axbc;axbc;xaxbc.

2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.

（1）柯西不等式的向量形式：

||||||.

22222

（2）(ab)(c+d)(acbd).

（3）(xx)2(yy)2(xx)2(yy)2(xx)2(yy)2.

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（此不等式通常称为平面三角不等式.）

3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

4．会用向量递归方法讨论排序不等式.

5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.

6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.

7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

一、不等式的求解

1．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集

不等式a0a=0a0

|x|a{x|-axa}

|x|a{x|xa或x-a}{x|x∈R且x≠0}R

(2)|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法

|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;

|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

2．绝对值三角不等式

(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.

(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.

【技能方法】

（一）含绝对值不等式的解法

方法解读适合题型

利用公式|x|a⇔-axa(a0)和|x|a⇔xa

1公式法|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x)

或x-a(a0)直接求解不等式

利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，

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平方法|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)≥g(x)

需保证不等式两边同正或同负