高二数学下学期研究含参函数的极值与最值问题（1）-讲义（学生版）.pdf

研究含参函数的极值与最值问题（1）

一、课堂目标

1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．

2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．

二、知识讲解

1.具体函数求单调性、极值与最值的步骤

知识精讲

（1）利用导数求解函数单调性的步骤

①确定的定义域；

②求导数；

③由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；

当时，在相应区间上是减函数.

知识精讲

（2）利用导数求极值的步骤：

①求导数；

②求方程的所有实数根；

③检验在方程的根的左右两侧的值的符号：

如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；

如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；

如果是左右同号，则在这个根处无极值.

知识精讲

（3）求函数在上的最值的步骤

①求函数在区间上的极值；

②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值.

1

经典例题

1.函数在区间的最大值为（）．

A.B.C.D.

巩固练习

2.已知函数．

求的最值．

2.求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值

知识精讲

（1）讨论单调性

含参一次型导函数，有两种类型，如下：

①参数在一次项系数上

②参数不在一次项系数上

针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是三种情况.

（2）求解极值与最值的步骤

①对函数求导、合并、整理；

②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；

③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端

点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．

经典例题

3.已知，函数．

求在区间上的最小值．

巩固练习

4.设函数．

试求在上的最大值．

经典例题

5.已知函数．

（1）求函数的单调区间．

2

（2）当时，求函数在上的最小值．

巩固练习

6.已知函数，．

讨论函数的单调区间．

3.求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值

知识精讲

（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型

这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是

三种情况：

①如果参数不在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数图象与轴交点个数，从而影响单调区

间.

例如：，对导函数图象的影响如下：

②如果参数在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.

例如：，对导函数图象的影响如下：

3

求解极值与最值的步骤

①对函数求导、合并、整理；

②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；

③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类