高二数学下学期正态分布-讲义（学生版）.pdf

正态分布

一、课堂目标

1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．

2．理解正态分布和标准正态分布的概念．

3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．

4．掌握正态分布的实际应用问题．

二、知识讲解

现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个

区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.

1.正态曲线

知识精讲

（1）正态曲线的概念

如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和

为参数）．

显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的

图像为正态密度曲线，简称正态曲线．

（2）正态曲线的性质

①曲线位于轴上方，与轴不相交；

1

②曲线是单峰的，它关于直线对称；

③曲线在处达到峰值（最大值）；

④曲线与轴之间的面积为；

⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；

⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越

“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．

经典例题

1.关于正态曲线的性质：

①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；

②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；

③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；

④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．

2

其中正确的是（）．

A.①②B.②③C.③④D.①③

巩固练习

2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．

A.

B.

C.

D.

2.正态分布

知识精讲

（1）正态分布的概念

若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和

为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．

正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均

值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．

注意：

若，则．

若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而

为区域的面积．

3

（2）原则

若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的

和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集

中在周围概率越大．

特别有，

①，

②，

③．

由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区

间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布