高二数学上学期抛物线(教师版).pdf

抛物线

学习目标

1．掌握抛物线的定义及四种标准方程并熟练运用．

2．掌握抛物线的一系列几何性质并熟练运用几何性质解题．

3．掌握求轨迹方程的的几种方法并熟练运用．

【备注】

1.本讲的重点是掌握抛物线的定义，四种标准方程，抛物线的性质并会运用；难点是性质

中的焦半径的求法并会运用，抛物线的焦点弦，求轨迹方程的的几种方法并会运用．

2.关联知识包括椭圆、双曲线、直线与圆等.

一、抛物线的定义及标准方程

1.定义及标准方程

（1）抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

重要解读：

①定义的实质可归结为“一动三定”

一个动点，设为；

一个定点，设为；

一条定直线（抛物线的准线）；

一个定值（即点到点的距离与它到定直线的距离之比等于）.

②定点不在定直线上，否则动点的轨迹就是过点且垂直于直线的一条直线.

【备注】

对于②的解释，例如：

到定点与定直线的距离相等的动点轨迹为过定点且与定直线垂直的直

线.

（2）抛物线的标准方程

1

标准方程

图象

坐标

焦点

位置轴正半轴轴负半轴轴正半轴轴负半轴

准线

开口向右向左向上向下

【备注】

抛物线标准方程的推导过程——根据抛物线的定义来求它的标准方程

过点作直线的垂线，垂足为，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐

标系，如下图：

设是抛物线上任意一点，焦点，准线方程是

则到的距离

到直线的距离为，所以，

上式两边平方，整理可得

注意：

①求解抛物线的标准方程，先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种标准方程中的一

种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求解出参数带回原方程

即可；

②利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出焦点坐标和

准线方程．如抛物线标准化之后为，相当于，故焦点坐标为，准线方程为

.

2

【备注】

其他注意的地方：

就顶点附近的形状来说，抛物线与双曲线很相似，但是抛物线绝对不是半支双曲线，二者

的图形在遥远的地方就显示出了很大的差别，以标准方程为的抛物线为例，

当逐渐增大时，抛物线向右延伸愈加平缓；而对于标准方程为的

双曲线来说，随着的增大，曲线向渐近线的方向延伸，显然后期双曲线要比抛物线开阔得

多．

经典例题

1.已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为．