（浙江版）高考数学复习： 专题2.4 函数奇偶性与周期性（讲）.docVIP

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第04节函数奇偶性与周期性

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

函数的奇偶性与周期性

理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性。

无

1.判断函数的奇偶性与周期性

2.备考重点：

(1)抽象函数的奇偶性与周期性；

(2)利用奇偶性与周期性求参数取值范围。

【知识清单】

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

对点练习

【2017陕西西安铁中月考】下列函数为奇函数的是()

A.y＝eq\r(x) B.y＝ex

C.y＝cosx D.y＝ex－e－x

【答案】D

【解析】A，B中显然为非奇非偶函数；C中为偶函数.

D中函数定义域为R，又，∴为奇函数.

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

对点练习

设是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x0，,x，0≤x1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.

【答案】1

【考点深度剖析】

函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．

【重点难点突破】

考点1函数奇偶性的判断

【1-1】【2017浙江杭州质检】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()

A.y＝x＋sin2x B.y＝x2－cosx

C.y＝2x＋eq\f(1,2x) D.y＝x2＋sinx

【答案】D

【解析】对于A，定义域为R，，为奇函数；对于B，定义域为R，，为偶函数；对于C，定义域为R，

，为偶函数；既不是偶函数也不是奇函数，故选D.

【1-2】已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()

A.－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)

【答案】B

【解析】依题意，且，∴，则.

【领悟技法】

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断与是否具有相等关系或者相反关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或

(偶函数)是否成立.

【触类旁通】

【变式一】已知函数对一切，都有，则为 ()

A．偶函数 B．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

【答案】B

【变式二】【2017北京，理5】已知函数，则

（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数

（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.

考点2函数奇偶性的性质及应用

【2-1】【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【2-2】【2017广东梅州模拟】若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有()

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由题意，得

解得

故，为上的增函数，，故．

【2-3】【2017浙江台州中学月考】偶函数在区间上单调递减，则有（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A.

【解析】由题意得，，故选A.

【领悟技法】

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性