专题08 直线与圆（7大易错点 典例 避错 举一反三 通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）（解析版）.docx

专题08直线与圆

目录

题型一：直线方程

易错点01忽略斜率公式的应用条件

易错点02求直线方程忽略截距为零

易错点03判断直线的位置关系考虑不全面

题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系

易错点04忽略圆的一般方程的限制条件

易错点05处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

易错点06曲线方程变形不等价

易错点07两圆相切忽略内切、外切的区分

题型一：直线方程

易错点01：忽略斜率公式的应用条件

典例4．（24-25高三上·上海·专题训练）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为．

【答案】

【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率

【分析】分和，求出倾斜角的取值范围.

【详解】由题意知，当时，，

当时，轴，此时倾斜角为，

所以．

故答案为：

【易错剖析】

在解题时容易忽略对和的讨论而出错.

【避错攻略】

1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.

②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.

2、直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率．

（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

3.倾斜角与斜率的关系

直线情况

平行于轴

由左向右上升

垂直于轴

由左向右下降

的大小

0°

的范围

0

不存在

的增减性

随增大而增大

随增大而增大

【解读】斜率和倾斜角的特点

①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；

②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；

③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.

4.直线斜率与直线方向向量

（1）若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.

（2）若直线的斜率为且直线过两点，它的一个方向向量的坐标为，则.

易错提醒：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

1．（24-25高二上·山西·阶段练习）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（????）

A．-2 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参.

【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为，

所以，解得.

故选：D.

2．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（????）

A．?7或0 B．0或7 C．0 D．7

【答案】B

【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．

【详解】当时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为

此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;

当时，

则解得，

综上，或.

故选：B.

3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案.

【详解】根据题意可得，解得或．

当时，点重合，不符合题意，舍去．

当时，经验证，符合题意．

故选：C.

1．（23-24高一下·重庆·期末）若直线：的倾斜角为，则实数值为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.

【详解】由直线，则该直线的斜率，

由题意可得，解得.

故选：C.

2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角

【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解.

【详解】设的倾斜角为，

由题意可知：直线的斜率，

即，且，所以.

故选：C.

3．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果.

【详解】∵为直线的倾斜角，

∴直线斜率，

∴.