2025版·《考点一遍过》高考文科数学考点19 平面向量的数量积及向量的应用.pdf

专题19平面向量的数量积及向量的应用

1．平面向量的数量积

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

2．向量的应用

（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

一、平面向量的数量积

1．平面向量数量积的概念

（1）数量积的概念

a,b|a||b|cosabab

已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即

ab|a||b|cosab

，其中θ是与的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0.

（2）投影的概念

ababba

设非零向量与的夹角是θ，则|a|cos(|b|cos)叫做向量在方向上(在方向上)的投影.

abab

如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投



OB1|a|cosabOB1

影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.

（3）数量积的几何意义

abababa

由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度|a|与在方向上的

投影|b|cos的乘积.

2．平面向量数量积的运算律

已知向量a,b,c和实数,则

①交换律：abba；

②数乘结合律：(a)b(ab)=a(b)；

③分配律：(ab)c=acbc.

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

a(x,y),b(x,y)ab

设非零向量1122，是与的夹角.

（1）数量积：ab|a||b|cosxxyy.

1212

（2）模：|a|aax12y12.

abxxyy

（3）夹角：cos1212.

|a||b|x2y2x2y2

1122

（4）垂直与平行：abab0xxyy0；a∥b⇔a·b