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用方程解决应用题(二)

一、线性方程的应用

例子1：销售问题

假设一家商店购入某种商品100件，每件成本为50元。商店计划通过销售这些商品来盈利，如果每件商品的销售价格为x元，那么商店需要卖出多少件商品才能实现盈亏平衡？

解题步骤：

1.建立方程：设商店需要卖出n件商品才能实现盈亏平衡，那么总成本为100件商品的购入成本，即10050元。总销售额为nx元。因此，我们可以建立以下方程：

\[100\times50=n\timesx\]

2.求解方程：将方程两边同时除以x，得到：

\[n=\frac{100\times50}{x}\]

3.分析结果：如果我们设定每件商品的销售价格为100元，那么n的值为50。这意味着商店需要卖出50件商品才能实现盈亏平衡。

例子2：年龄问题

小明今年x岁，他的父亲比他大25岁。5年前，小明的年龄是他的父亲年龄的1/3。求小明现在的年龄。

解题步骤：

1.建立方程：设小明现在的年龄为x岁，那么他的父亲现在的年龄为x+25岁。5年前，小明的年龄为x5岁，他的父亲的年龄为x+255岁。根据题意，我们可以建立以下方程：

\[x5=\frac{x+20}{3}\]

2.求解方程：将方程两边同时乘以3，得到：

\[3x15=x+20\]

将方程简化，得到：

\[2x=35\]

\[x=17.5\]

3.分析结果：小明现在的年龄是17.5岁。

二、二次方程的应用

例子3：投资问题

张先生计划将一笔钱投资于两个不同的项目。一个项目的年收益率为4%，另一个项目的年收益率为8%。如果他在两个项目上投资的总金额为10万元，并且希望从这两个项目中获得的总年收益为5000元，那么他应该在每个项目上投资多少钱？

解题步骤：

1.建立方程：设张先生在年收益率为4%的项目上投资x万元，那么他在年收益率为8%的项目上投资的金额为10x万元。根据题意，我们可以建立以下方程：

\[0.04x+0.08(10x)=0.5\]

2.求解方程：将方程展开，得到：

\[0.04x+0.80.08x=0.5\]

将方程简化，得到：

\[0.04x=0.3\]

\[x=7.5\]

3.分析结果：张先生应该在年收益率为4%的项目上投资7.5万元，在年收益率为8%的项目上投资2.5万元。

例子4：面积问题

一个长方形的长比宽多5米，如果长方形的长和宽都增加5米，那么面积增加100平方米。求原来长方形的长和宽。

解题步骤：

1.建立方程：设原来长方形的长为x米，宽为x5米。根据题意，我们可以建立以下方程：

\[x(x5)+100=(x+5)(x5)\]

2.求解方程：将方程展开，得到：

\[x^25x+100=x^225\]

将方程简化，得到：

\[5x+100=25\]

\[x=20\]

3.分析结果：原来长方形的长为20米，宽为15米。

三、不等式方程的应用

例子5：配料问题

一家食品厂生产一种混合食品，其中包含两种成分A和B。成分A的成本为每千克10元，成分B的成本为每千克15元。食品厂要求混合食品中成分A的比例不小于40%，且总成本不超过每千克12元。求混合食品中成分A和B的最大可能比例。

解题步骤：

1.建立方程：设混合食品中成分A的比例为x，成分B的比例为1x。根据题意，我们可以建立以下不等式方程组：

\[10x+15(1x)\leq12\]

\[x\geq0.4\]

2.求解方程：将第一个不等式展开，得到：

\[10x+1515x\leq12\]

\[5x\leq3\]

\[x\geq0.6\]

3.分析结果：混合食品中成分A和B的最大可能比例为6:4。

四、指数方程的应用

例子6：人口增长问题

某城市的人口以每年5%的速率增长。如果现在该城市的人口为100万人，那么多少年后该城市的人口将达到200万人？

解题步骤：

1.建立方程：设n年后该城市的人口为P人，根据题意，我们可以建立以下方程：

\[P=100\times1.05^n\]

其中，P=200万人。

2.求解方程：将P的值代入方程，得到：

\[200=100\times1.05^n\]

将方程两边同时除以100，得到：

\[2=