2025年新高考数学重难点03 空间向量基底法十四大题型汇总（解析版）.docx

重难点03空间向量基底法十四大题型汇总

技巧一.基底的判断思路

1.判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.

2.判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

技巧二.利用向量法证明向量共面的策略

1.若已知点P在平面ABC内，则有OP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOB＋zOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

2.证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

技巧三.用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

（3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.

技巧四.求线面角的两种思路

1.线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.

2.向量法．

方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sinθ=lcosφ|=

方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，

则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cosa，b|

技巧五.求二面角常用的方法：

1.几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

2.空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意

题型1空间向量基底的辨析

【例题1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若a,b,

A．a+b,a-b,a B

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A，a=12a+

对于B，b=12a+

对于C，假设向量a+b,

即c=λ+

对于D，a+b+c=

故选：C.

【变式1-1】1.（2020秋·河南信阳·高二统考期末）已知a=2,-1,3，b=-1,4,-2，c=7,5,

A．0 B．357 C．9 D．

【答案】D

【分析】依题意可得a,b,c共面，则c

【详解】∵a,b,c不能构成空间的一个基底，∴

则(7,5,λ

∴7=2x-

故选：D.

【变式1-1】2.（2022秋·全国·高二期末）若a,b,

A．b+c,b,-b-

C．a+b，a-b，

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对选项A：-b-c

对选项B：a=12a+b+

对选项C：假设c=λa

对于选项D：(a+b

故选：C

【变式1-1】3.（2023秋·云南大理·高二统考期末）若e1,e2,e3

A．83 B．52 C．-1

【答案】D

【分析】由题意可知，向量OA、OB、OC共面，则存在实数x、y使得OC=xOA+yOB，根据空间向量的基本定理可得出关于x、y

【详解】因为向量OA=e1+e

所以OA、OB、OC共面，故存在实数x、y使得OC=

即ke

因为e1,e2,

故选：D.

【变式1-1】4.（2022秋·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若a、b、c构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（????）

A．2a、b+c、a+b+c

C．a、b-c、b+c D．b

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为a+b+c=b+c+

对于B选项，因为3c=b+c-b-2c

对于C选项，假设a、b-c、b+c共面，则存在

使得b+

因为a、b、c构成空间的一组基底，则λ=0

假设不成立，故a、b-c、

所以，a、b-c、b+

对于D选项，因为2b=b+c+b-c，则

故选：C.

【变式1-1】5.（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）已知{a,b,c}是空间的一组基底，则可以与向量

A．a B．b C．a+2b D

【答案】D

【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.

【详解】∵p=a+b，q=a-b，∴

∵a+2b=32a+b

∵{a,b,c}是基底，

∴a+2c与p,q不共面，故a+2c

故选：D.

【变式1-1】6.（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC