2025年新高考数学重难点03 空间向量基底法十四大题型汇总（原卷版）.docx

重难点03空间向量基底法十四大题型汇总

技巧一.基底的判断思路

1.判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.

2.判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

技巧二.利用向量法证明向量共面的策略

1.若已知点P在平面ABC内，则有OP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOB＋zOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

2.证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

技巧三.用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

（3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.

技巧四.求线面角的两种思路

1.线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.

2.向量法．

方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sinθ=lcosφ|=

方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，

则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cosa，b|

技巧五.求二面角常用的方法：

1.几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

2.空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意

题型1空间向量基底的辨析

【例题1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若a,b,

A．a+b,a-b,a B

【变式1-1】1.（2020秋·河南信阳·高二统考期末）已知a=2,-1,3，b=-1,4,-2，c=7,5,

A．0 B．357 C．9 D．

【变式1-1】2.（2022秋·全国·高二期末）若a,b,

A．b+c,b,-b-

C．a+b，a-b，

【变式1-1】3.（2023秋·云南大理·高二统考期末）若e1,e2,e3

A．83 B．52 C．-1

【变式1-1】4.（2022秋·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若a、b、c构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（????）

A．2a、b+c、a+b+c

C．a、b-c、b+c D．b

【变式1-1】5.（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）已知{a,b,c}是空间的一组基底，则可以与向量

A．a B．b C．a+2b D

【变式1-1】6.（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB

A．AB,12

C．AB,12

题型2利用空间向量基底求参数

【例题2】（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE

??

A．1 B．2

C．13 D．

【变式2-1】1.（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知P是△ABC所在平面外一点，M是BC的中点，若AM=x

A．x+y+

C．x-y-

【变式2-1】2.（2023秋·湖南永州·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有OA+OB+OC+

A．14 B．12 C．2 D

【变式2-1】3.（2020秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BM=34BB1，BN

A．105 B．125 C．145

【变式2-1】4.（2019春·湖北武汉·高二统考期末）已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD→=xSA

题型3基底表示向量

【例题3】（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，

??

A．12b+

C．12a-

【变式3-1】1.（2021秋·安徽安庆·高二安徽省桐城中学校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1