2025年新高考数学重难点14指对运算九大题型汇总（原卷版）.docx

重难点14指对运算九大题型汇总

技巧一.对数的运算法则：

1.logaMN=loga

2.logaMN=log

3.logaMn=nlogaM.(其中a

技巧二.换底公式：

logab=logcblogca(a＞0，且a1；c＞0，且

利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征：

1.多底数，多真数，都给它降幂为基数，

2.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数

3.如果没有共同数，则结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为底（尽量找共同数）

4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商，

换底推广：

①；

②；

③；

④；

⑤.

技巧三.对数的性质：

①alogaN＝

②logaaN＝N（a0

技巧四.求最值

多用一元二次函数或者均值不等式

1.基本不等式成立的条件：a0，b0；

2.等号成立的条件：当且仅当a＝b.

3.基本不等式的变形：

①a＋b≥2ab，常用于求和的最小值；

②ab≤ab22

技巧五.指数对数函数方程：

1.可以借助指数运算进行换元

2.要注意对数取值范围

3.根据常用指数式、对数式及其性质化简，

如alogab

题型1指对化简运算

【例题1】（2023上·江西宜春·高一江西省宜春中学校考期末）计算：

(1)31

(2)log3

【变式1-1】1.（2022上·云南红河·高一校考期末）求值：

(1)32

(2)lg4

【变式1-1】2.（2023上·四川成都·高一校联考期末）化简求值（需要写出计算过程）.

(1)6427

(2)31+

【变式1-1】3.（2022上·新疆哈密·高一校考期末）计算：

(1)2

(2)log

(3)2

(4)已知：a12

【变式1-1】4.（2022上·辽宁阜新·高一校考期末）计算下列各式的值

(1)(2-

(2)3

(3)4

(4)2

(5)9

题型2对数换底之用字母表示对数

【例题2】（2022上·黑龙江牡丹江·高一校考期末）已知log218=a，试用a表示

【变式2-1】1.（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知3a=2，3b=5，若用a、b表示log

【变式2-1】2.（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知6x=2y=a（a为常数，且a0，

【变式2-1】3.（2022上·陕西西安·高一校考期末）已知lg2=a，10b=3，用a、

【变式2-1】4.（2022上·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）已知log73=a，7b=2，用a及

题型3对数换底之求参

【例题3】（2023上·云南保山·高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）若2a=5b=10

A．-1 B．lg7 C．2 D

【变式3-1】1.（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知2m=9n=36

A．log618 B．12 C．1

【变式3-1】2.（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）若1m=log25

A．103 B．92 C．245

【变式3-1】3.（2023上·广西·高一校联考期中）已知x0，y0，lg21x+

A．4 B．10 C．12 D．16

【变式3-1】4.（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知2x=3，log39

题型4对数换底之恒等式

【例题4】（2023·上海·高一专题练习）若正实数a、b、c均不为1，满足ax=by=c

【变式4-1】1.（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）若3x=4y=6

【变式4-1】2.（2023·全国·高一随堂练习）已知2x=3

【变式4-1】3.（2020·高一课时练习）已知a，b，c均为正数，且3a=4

【变式4-1】4.（2023上·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．

(1)试利用对数运算性质计算lg3

(2)已知x，y，z为正数，若3x=4

【变式4-1】5.（2023·上海·高一专题练习）已知x，y，z均为正数，且2x

(1)若5x=my，求实数m

(2)求证：1x

题型5对数换底之求最值

【例题5】（2022上·上海金山·高一统考期末）若log92a+

【变式5-1】1.（2021上·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知实数x、y，正数a、b满足ax=by=2，且2

【变式5-1】2.（2023上·山东青岛·高一统考期中）若a0，b0，lga+lg

【变式5-1】3.（2024上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考开学考试）已知a0，b0

【变式5-1】4.（2023上·陕西·高一校联考阶段练习）已知a1，b1，当b变化时，loga