2025年新高考数学专题1-1 空间向量与动点问题十四大题型汇总（原卷版）.docx

专题1-1空间向量与动点问题十四大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1共面问题与动点问题 2

题型2线线平行与动点问题 4

题型3线面平行与动点问题 5

题型4面面平行与动点问题 7

题型5线线垂直与动点问题 8

题型6线面垂直与动点问题 12

题型7面面垂直与动点问题 15

题型8线线角与动点问题 17

题型9线面角与动点问题 19

题型10面面角与动点问题 22

题型11点面、线面距离与动点问题 25

题型12点线、线线距离问题 28

题型13面积体积相关问题 29

题型14三角形形状问题 32

知识点一.利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：

1.根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示.

2.假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.

知识点二.动点的设法（减少变量数量）

在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.

1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若a//b??λ

2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.

3.依据：平面向量基本定理,若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在x，y∈R

题型1共面问题与动点问题

【方法总结】

共面定理：平面向量基本定理,若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在x，y∈R

【例题1】（2021·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系Axyz中，E0,0,1，B1,0,0，F0,2,2

（1）求向量BC在向量EF上的投影的数量．

（2）是否存在实数a，使得点E，F，C，B共面？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【变式1-1】1.（2021·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体AC1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G

（1）已知上底面A1C1内一点H满足GH

（2）棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF

【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，

(1)求证：CD⊥面PAD

(2)求二面角F-

(3)设点G在PB上，且PGPB=λ．判断是否存在这样的λ，使得A，E，F

【变式1-1】3.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC上靠近P的三等分点，PA⊥底面ABCD

(1)在侧棱PD上是否存在点F，使得点A,B,

(2)求二面角P-AB

题型2线线平行与动点问题

【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知空间几何体P-ABCD的底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°,AD//BC,BA=BC=

??

(1)若BC?

(2)若AE垂直PD于E，证明：BE⊥

(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得EF//

【变式2-1】（2021·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体AC1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G

（1）已知上底面A1C1内一点H满足GH

（2）棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF

题型3线面平行与动点问题

【例题3】（2023·全国·高二专题练习）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且AB//CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB

??

(1)求证：AB⊥

(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；

(3)线段PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求出AE

【变式3-1】1.（2023·全国·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD

??

(1)求二面角D-

(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得FP∥平面AED.若存在，求出APAB

【变式3-1】2.（2023·全国·高二假期作业）如图：在正方体ABCD-A1B1C

??

(1)求证：BD1∥平面

(2)在线段CC1上是否存在一点N，使得平面AMC∥平面BN

【变式3-1】3.（2023·全国·高二假期作业）如图，在平面五边形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，AB=AD=10，AE=6，BC=8，CD=4，∠AED=90°，EH⊥

(1)求证：EH⊥平面ABCD；

(2)求三棱