2025年新高考数学专题1-2 棱柱相关解答题二十大题型汇总（解析版）.docxVIP

专题1-2棱柱相关解答题二十大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u第一篇直棱柱篇 1

题型1平行关系 1

题型2垂直关系 14

题型3长度问题 22

题型4距离问题 26

题型5线线、线面角问题 38

题型6二面角问题 51

题型7线面角与动点问题 71

题型8二面角与动点问题 83

题型9体积与动点问题 91

题型10最值取值范围问题 95

第二篇斜棱柱篇 104

题型11平行关系 104

题型12垂直关系 114

题型13长度问题 119

题型14体积与距离问题 125

题型15线面角问题 131

题型16二面角问题 140

题型17线面角与动点问题 157

题型18二面角与动点问题 166

题型19体积与动点问题 176

题型20最值取值范围问题 182

第一篇直棱柱篇

题型1平行关系

【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D，E分别为棱AB，B1C1的中点，BC

【答案】证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得DE//平面

【详解】在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1

所以AC=A1C1=4，则

以B为原点，BC,BA,

设BB1

A1

所以DE=1,-3

设平面ACC1A

所以AC?n=2x-2

所以DE?n=

又DE?平面ACC1A1

【变式1-1】1.（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B

（1）求证：BC1⊥

（2）点M在线段B1C上，且B1MB1C=13，点N

【答案】（1）证明见解析；（2）23

【分析】（1）由题设条件可证A1B1⊥B1C

（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设Ma,b,c，Nx,y,z

【详解】（1）证明：∵在三棱柱ABC-A1B1

因为BC?平面ABC，故BB1

因为AA1=CA

因为AB⊥BC，故

∵BB1∩B1C

∵BC1?平面BCC

∵A1B1∩B1

（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为

A0,2,0，C2,0,0，C12,0,2，B0,0,0

CA=-2,2,0

设平面ACC1A

则n?CA=-2x+2

点M在线段B1C上，且B1MB1

设Ma,b,c，Nx,y,

即2,0,-2=3a,

解得M23,0,43

∵MN//平面A1ACC

解得λ=

∴A1NA

【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1

（Ⅰ）在四边形ABB1A1内是否存在点G，使平面

（Ⅱ）设D是CC1的中点，求DA与平面ABC

【答案】（Ⅰ）四边形ABB1A1内存在点G，即线段MN上任意一点，使平面GEF//平面AB

【分析】（Ⅰ）取A1A，B1B的中点M，N，可得EF//A1B1//MN//AB，从而可得

（Ⅱ）取AC的中点O，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得DA与平面ABC1所成角

【详解】（Ⅰ）如图所示，取A1A，B1B的中点M，N，连接ME，MN，NF，EF，

因为E，F分别为A1C1

所以在直三棱柱ABC-A1

又因为EF?平面ABC1，AB

所以EF//平面AB

同理可证ME//平面AB

又EF∩ME=E，所以平面

即平面MNFE//平面AB

所以四边形ABB1A1内存在点G，即线段MN上任意一点，使平面

（Ⅱ）取AC的中点O，连接OB，OE，则在直三棱柱ABC-A1B1C1

以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-

因为AB=

所以A0,-1,0，B3,0,0，C

则DA=0,-2,-1，AB=

设平面ABC1的法向量为

则n?AB=0

令x=33，则y=-1，

所以sinθ

所以DA与平面ABC1所成角θ的正弦值为

【变式1-1】3.（2023·高二单元测试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B

（1）求证：BC1⊥

（2）求异面直线B1C与

（3）点M在线段B1C上，且B1MB1C=13，点

【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）23

【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，BB1⊥A1B1

（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1C与

（3）求出平面ACC1A1的法向量，由MN//

【详解】（1）证明：∵在三棱柱ABC-

BB1⊥平面ABC，AB

∴BC1⊥B

∵BB1∩B

∵BC1?平面

∵A1B1∩

（2）以B为原点，BC为x轴，B