2025年新高考数学专题1-3 棱锥相关解答题十大题型汇总（原卷版）.docx

专题1-3棱锥相关解答题十大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1平行关系 1

题型2垂直关系 3

题型3长度问题 6

题型4距离体积问题 8

题型5线线、线面角问题 10

题型6二面角问题 13

题型7线面角与动点问题 15

题型8二面角与动点问题 18

题型9体积与动点问题 20

题型10最值取值范围问题 23

题型1平行关系

【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP、AP、BC的中点分别为D、E、O，点F在

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【变式1-1】1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC

【变式1-1】2.（2023·高二课时练习）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC

（1）求证：AC⊥

（2）设O、D分别为AC、AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足OG=13OA

【变式1-1】3.（2023·全国·高二专题练习）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且AB//CD，AB⊥BC，AP⊥

(1)求证：AB⊥

(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；

(3)线段PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求出AE

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【变式1-1】4.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，平面PBC交平面PAD直线l，

(1)求证：BC∥l；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PGPC

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【变式1-1】5.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，AB=AC=1，将△PAB绕着PA逆时针旋转

(1)当∠BAC

(2)当PC//平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值

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题型2垂直关系

【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.

【变式2-1】1.（2023秋·全国·高二随堂练习）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC

(1)求证：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP是一点，且AM=3．试证明平面AMC⊥平面BMC

【变式2-1】2.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2

(1)求证：平面BCG⊥平面PAC

(2)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥

【变式2-1】3.（2023秋·全国·高二随堂练习）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，PD⊥底面ABC于点D，AD⊥DB，且DB

(1)求证：AC//平面PDB

(2)在棱PC上是否存在一点E，使得DE⊥平面PAB？若存在，求出CE

【变式2-1】4.（2021·高二课时练习）如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°,

（1）求三棱锥P-

（2）求二面角B-

（3）判断在线段AC上是否存在点Q，使得△PQB为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求AQ

【变式2-1】5.（2023·全国·高二专题练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求

题型3长度问题

【例题3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M

(1)求证：MN//平面BDE

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH

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【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，PA=BC，

(1)证明：PA⊥

(2)若PB=2PA=22，AB=10，M在棱PB

【变式3-1】2.（2022·全国·高三专题练习）