高一数学培优解三角形综合题-讲义（教师版）.pdf

解三角形综合题

一、课堂目标

1．掌握解三角形中边角关系、几何图形类题型的解题技巧．

2．掌握解三角形中最值问题、实际应用问题的解题技巧．

【备注】【教师指导】

1．本讲的重点是掌握解三角形几类常见题型的解题方法或解题步骤，熟练求解相关习题；

三角是高中数学六大模块之一，其重要程度不用多说，而解三角形的题型也是三角各题型

中的常考题型，需要牢牢掌握．

2．本讲的关联知识：正余弦定理．

二、知识讲解

知识回顾

（一）正弦定理

（1）正弦定理：；（为三角形外接圆半径）

（2）正弦定理变形式：

①；；

②

（3）正弦定理的应用：

①两边两角，知三求一；

②边的齐次式化成角的正弦的齐次式，或角的正弦的齐次式化成边的齐次式．

（二）余弦定理

（1）余弦定理：

①；

②；

③；

（2）余弦定理变形式：

①；

②；

1

③．

（3）余弦定理的应用：

三边一角，知三求一．

（三）三角形面积公式

（1）(、、分别表示a、b、c上的高)；

（2）；

（3）(为三角形外接圆半径)；

（4）（为三角形内切圆半径）．

1.解三角形之--边角关系型

知识精讲

这类题在解题过程中的常见思路：

（1）利用正、余弦定理求解相应边角；

（2）利用正、余弦定理的变式，先将边角关系化统一再进行求解；

（3）利用三角恒等式进行化简和求值．

经典例题

1.设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．

（1）求的面积．

（2）求的值．

【备注】【教师指导】

本题考查三角形面积的求法、以及两角差的正弦，在求解此类题的过程中，关键是根据已

知条件，利用正余弦定理或三角恒等式求解相关量，从而得出所要求的结果．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）在中，因为，

所以．

所以，．

（2）由余弦定理可得，

2

所以，．

又由正弦定理得，，

所以，．

因为，所以为锐角，

所以，．

所以，．

【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；利用正弦和差角公式直接求值

2.在三角形中，、、的对边分别为、、，若．

（1）求的大小．

（2）若，，求的面积．

【备注】【教师指导】

对于本题这种边角混杂的等式，首先利用正（余）弦定理的变式将边角化统一，再结合三

角恒等式进行化简求值．