2025年新高考数学专题1-8 立体几何与空间向量十二大重点题型汇总（解析版）.docx

专题1-8立体几何与空间向量十二大重点题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1空间向量的概念 1

题型2空间向量的线性运算 5

题型3空间向量的线性表示 8

题型4空间向量的基本定理 13

题型5空间向量共线问题 16

题型6空间向量共面问题 19

题型7空间向量的数量积、夹角与模长问题 25

题型8空间向量的对称问题 31

题型9利用空间向量证明位置关系 34

题型10利用空间向量计算空间角 44

题型11利用空间向量算距离 54

题型12空间中的动点问题 63

题型1空间向量的概念

【例题1】（2023·全国·高二专题练习）已知正方体ABCD-ABC

①OA+OD与

②OB-OC与

③OA+OB+

④OA-

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.

【详解】??

对于①，∵OA=-OC

∴OA+OD与O

对于②，∵OB-OC=CB

∴OB-OC与O

对于③，∵OA=-OC，OB

∴OA

∴OA+OB+OC

对于④，∵OA-OA

∴OA-OA与

故选：C.

【变式1-1】1.（2023秋·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（????）

A．空间向量AB与BA的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

【答案】A

【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.

【详解】对于A，因为空间向量AB与BA互为相反向量，所以空间向量AB与BA的长度相等，所以A正确，

对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，

对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，

对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB与BA的模相等，所以D错误，

故选：A

【变式1-1】2.（2022·高二课时练习）下列说法正确的是（????）

A．零向量没有方向

B．空间向量不可以平行移动

C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

【答案】D

【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.

【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；

对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；

对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，

所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.

故选：D.

【变式1-1】3.（多选）（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考开学考试）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1

??

A．单位向量有8个 B．与AB相等的向量有3个

C．AA1的相反向量有4个 D．模为5的向量有

【答案】ABC

【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐项分析可得答案.

【详解】由题可知单位向量有AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，

与AB相等的向量有A1B1，D1C1，

向量AA1的相反向量有A1A，B1B，C1

模为5的向量分别为AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，

故选：ABC

【变式1-1】4.（2021秋·高二课时练习）给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若|a|=|b|，则

③对于任何向量a，b，必有|a

其中正确命题的序号为．

【答案】③

【分析】根据相反向量的定义可以判断①；两个向量模相等，这两个不一定是相等向量或相反向量可以判断②；通过对a，b同向，反向，不共线进行分类讨论，结合三角形法则和三边关系则可以判定③.

【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；

对于②，若|a|=|b|，则a与

对于③，若a与b同向，则|a+b|=|a|+|b|，若a与b反向，|a+b||

????

故答案为：③

题型2空间向量的线性运算

【例题2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则AB+12

A．AG B．CG C．BC D．1

【答案】A

【分析】根据已知条件作出图形，利用中点的向量的线性关系及向量加法法则即可求解.

【详解】四面体ABCD，G是CD的中点，如图所示，

因为G是CD的中点，

所以BG

所以AB+

故选：A.

【变式2-1】