2025年新高考数学专题2-13 圆锥曲线章末重点题型十九大题型汇总（解析版）.docxVIP

专题2-13圆锥曲线章末重点题型十九大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1圆锥曲线的定义 7

题型2圆锥曲线的标准方程 11

题型3圆锥曲线定义的应用 15

题型4圆锥曲线的离心率 20

题型5和差最值 24

题型6直线与圆锥曲线的位置关系 30

题型7中点弦问题 39

题型8弦长问题 45

题型9面积问题 52

题型10定点问题 62

题型11定值问题 70

题型12定直线问题 76

题型13角度问题 85

题型14点共线问题 96

题型15取值范围问题 105

题型16最值问题 115

题型17向量问题 123

题型18存在性问题 131

题型19解答题综合 140

知识点一．椭圆的定义

1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

2.焦点：两个定点F1，F2.

3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.

4、半焦距：焦距的一半．

知识点二.椭圆的几何性质汇总

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长

长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)

对称性

对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率

e＝eq\f(c,a)(0e1)

知识点三.点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系：

1.点P在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；

2.点P在椭圆内部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；

3.点P在椭圆外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.

知识点四直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系，判断方法：

1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．

2.当Δ0时，方程有两解，直线与椭圆相交；

3.当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；

4.当Δ0时，方程无解，直线与椭圆相离．

知识点五.求椭圆中焦点三角形面积的方法：

1.根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；

2.利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；

3.利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积

4.结论：S?

知识点六.求解直线被椭圆截得弦长的方法：

1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

2.当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．

知识点七.双曲线的定义

1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点八.双曲线的几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

性质