2025年新高考数学立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题（教师版）.pdf

立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题

立体几何中的动点轨迹问题，是一个备受关注的重要专题，它在各级各类考试中占据一席之地，特别是在高

考中亦常有所见。此类题型不仅是检验学生空间想象能力、思维能力和创新意识的有效手段，也是培养学生数学

核心素养的重要途径。

在高考复习备考过程中，其试题常以选择、多选、填空等形式呈现，设计巧妙，注重知识间的交汇与融合，题型

新颖灵活，旨在全面考查学生的综合素质。通过此类题型，不仅能够检验学生对各部分知识间的纵向和横向联系

的掌握程度，还能够激发学生的创新意识和创新能力，渗透数学思想方法，充分体现新课程标准的要求和数学核

心素养的培育目标。

然而，由于这类问题通常涉及较为复杂的空间几何体结构特征，对于许多学生而言，确实存在一定的挑战和

难度。

知识讲解

方法点睛1：对于立体几何的综合问题的解答方法：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨

迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进

行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

14、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问

题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

方法点睛2：立体几何中的轨迹问题：

1、由动点保持平行性求轨迹.

(1)线面平行转化为面面平行得轨迹；(2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

2、动点保持垂直求轨迹.

(1)可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；(2)利用空间坐标运算求轨迹；(3)利用垂直关系转化

为平行关系求轨迹.

3、由动点保持等距(或者定距)求轨迹.

(1)距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；(2)利

用空间坐标计算求轨迹.

4、由动点保持等角(或定角)求轨迹.

(1)直线与面成定角，可能是圆锥侧面；(2)直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；(3)利用空间坐标系计算求轨

迹.

5、投影求轨迹.

(1)球的非正投影，可能是椭圆面；(2)多面体的投影，多为多边形.

6、翻折与动点求轨迹.

(1)翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；(2)翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；(3)利用空间坐标运算

求轨迹.

考点一、轨迹形状

1.(浙江·高考真题)如图，斜线段ΑΒ与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠ΡΑΒ=

30°，则点P的轨迹是

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支

【答案】C

【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线

平行时，得到抛物线．

此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，

再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．

2

故可知动点P的轨迹是椭圆．

故选C.

考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.

2.(北京·高考真题)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点

C的轨迹是()

A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.曲线的一支

【答案】A

【分析】先找出定点A和直线l确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.



【详解】