中考数学一轮复习知识点梳理+题型训练专题26 垂径定理(原卷版).doc

专题26垂径定理

基础知识回顾

垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

模型的概述：

在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则

CE=CEeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))

证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=OD

∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°

∴?OED≌?OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))

∵AB为⊙O的直径∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ACB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ADB))∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。

【口诀】

垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。

【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。

【培优过关练】

1．（2022年安徽省中考数学真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（????）

A． B．4 C． D．5

2．（2022年四川省泸州市中考数学真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（????）

A．1 B． C．2 D．4

3．（2022年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．

4．（2022年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．

5．（2022年湖南省长沙市中考数学真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．

6．（2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

7．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．

8．（2022年贵州省六盘水市中考数学试题卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；

(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．

9．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．

(1)直接判断与的数量关系；

(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．

10．（2022年天津市中考数学真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．

(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；

(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．

11．（2022年江苏省扬州市中考数学真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，求的长．

12．（2022年四川省