2025版零基础数学一轮复习第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 .pdf

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第08讲二项分布与超几何分布、正态分布

知识点精准记忆

知识点三伯努利试验与三项分布

(1)〃重伯努利试验的定义

①我们把只包含两个可能结果的试验叫伯努利试验.

②将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件力发生的概率为用X表示事件力发生

的次数，则X的分布列为P(X=k)=Q_p)fS1,2,3,・・•,〃.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜

知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差

若随机变量X从两点分布，则E(X)=p,Q(X)=p(l-p).

若X〜则E(X)=np,Q(X)=np(l-p)

知识点三：超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表

厂左「n—k

示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=m*m,k=++.

其中n,N,MwN*,MN,nN,m=max{,n-N+M},r=min(n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

知识点四：正态分布

(1)正态分布定义:

i(x-//)2

若随机变量X的概率密度函数为/*(、)=—,(xwR,其中RER,bo为参数)，称随机变量X

ay/271

服从正态分布，记为x〜

(2)正态曲线的特点

①曲线位于轴上方，与x轴不相交;

②曲线是单峰的，它关于直线x=对称;

③曲线在x=时达到峰值—1=；

兀

④当x时，曲线上升；当、#时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向

它无限靠近.

⑤曲线与x轴之间的面积为1；

⑥#决定曲线的位置和对称性;

当b一定时，曲线的对称轴位置由日确定；如下图所示，曲线随着日的变化而沿轴平移。

-1-

⑦b确定曲线的形状;

当#一定时，曲线的形状由b确定。b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；b越大，曲线越“矮胖”,

表示总体的分布越分散。

(3)正态分布的3b原则：正态分布在三个特殊区间的概率值

假设X〜NO，/),可以证明：对给定的A:eN*,P(/z-k(yX]u+ka)是一个只与次有关的定值.

特另汁地，户(#—bX#+cr)a0.6827,

P(ju-2crX]u+2cr)«0.9545,

户O—3bVX%+3b)q0.9973.

上述结果可用右图表示.

此看到，尽管正态变量的取值范围是(-吃+8),但在一次试验中，X

的值几乎总是落在区间3b,#+3b]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况

几乎不可能发生.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(y)的随机变量X只取3b,〃+3b]中的值，这在统

计学中称为3b原则.

...•咽题精理

a

题型：二项分布及其应用

例题1・已知随机变量X从二项分布则P(X=2)=()

5

B・Zc・ID.

8

【答案】C

【详解】由p