高二数学下学期空间向量与立体几何综合-讲义（教师版）.pdf

空间向量与立体几何综合

一、课堂目标

1．掌握空间向量的概念及相关运算并能熟练运用．

2．掌握利用空间向量证明空间中平行或垂直问题．

3．掌握利用空间向量求空间中角的方法步骤并能熟练运用．

4．掌握利用空间向量求空间中距离的方法步骤并能熟练运用．

【备注】【教师指导】

1.本讲是空间向量与立体综合的综合练习，题目大多是各地期末考试题，重点是空间向量

的概念及相关运算，利用空间向量证明空间中平行或垂直问题；难点是，法向量的求解步

骤，利用空间向量求空间中角的方法步骤，利用空间向量求空间中距离的方法步骤，在求

解时要注意计算.

2.本讲的关联知识包括立体几何初步、空间向量、空间向量与立体几何

二、知识讲解

1.空间向量

知识精讲

（1）空间向量线性运算

如下图：

①

②

③当时；当时；当时.

（2）空间向量的数量积

空间中的两个向量，则．

1

【备注】【教师指导】

1.运算律：

①交换律：；

②结合律：．

③分配律：；．

④数乘结合律：．

2.空间向量数量积的运算律

①．

②交换律：．

③分配律：．

常用性质：

①若是非零向量，⊥，且⊥．

②，即．

3.空间向量共线的充要条件：

与平面向量共线的充要条件类似，对于空间任意两个向量，的充

要条件是存在实数，使得．

4.空间三个向量共面的充要条件：

如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对，使．

5.空间向量基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组

，使得．

其中叫做空间的一组基底．都叫做基向量．

任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．

（3）空间向量运算的坐标表示

设，，则容易得到：

①；

②；

③．

根据向量的减法运算法则，我们还能得到：

④如，则.

（4）空间向量平行和垂直的条件

2

设，，

①，，；

②．

（5）两个向量夹角与模长的坐标