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注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本卷共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,,则集合的子集个数是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合,由此可计算出集合的子集个数.
【详解】,,,
因此,集合的子集个数是.
故选:C.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算,一般要求出集合的元素个数,考查计算能力,属于基础题.
2.抛物线的焦点坐标是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为,
其焦点坐标为
故选:C.
3.已知函数的定义域为,则“恒成立”是“函数在上单调递增”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】函数为上增函数,,反之不成立,即可判断出结论.
【详解】函数为上增函数,,反之不成立,
例如定义在,上,,且在上满足,则有“”,
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故选:B.
4.若向量满足,则向量一定满足的关系为()
A. B.存在实数,使得
C.存在实数,使得 D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断,对于C需分与是否为讨论即可.
【详解】,两边同平方得
,,
对A,时,为任一向量,故A错误,
对B,若,时,此时不存在实数,使得,故B错误,
对于C,因为,当与至少一个为零向量时,此时
一定存在实数,,使得,
具体分析如下:
当,时,此时为任意实数,,
当,时,此时为任意实数,,
当,时,为任意实数,
当,时,因为,则有,根据,
则,此时共线,且同向,则存在实数使得(),
令,其中同号,即,即,则存在实数,,使得,故C正确,
对于D,当,时,,故D错误,
故选:C.
5.在平面直角坐标系xOy中,若圆(r0)上存在点P,且点P关于直线的对称点Q在圆上,则r的取值范围是()
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(2,8) D.[2,8]
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆关于对称的圆的方程,转化为此圆与有交点,再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.
【详解】圆心坐标,
设关于直线的对称点为,
由,可得,
所以圆关于直线对称圆的方程为,
则条件等价为:与有交点即可,
两圆圆心为,,半径分别为,3,
则圆心距,
则有,
由得,由得,
综上:,
所以r的取值范围是,
故选:D.
6.已知函数,其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B,并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象结合三角函数求点,进而求,即可得结果.
【详解】因为,
可得,即,
由图可知:点A为减区间的对称中心,
令,解得,
取,则,即,
可得,
因为点A为线段CD的中点,则,
所以.
故选:B.
7.已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为,过点且斜率为-1的直线与相交于,两点,若恰好是的中点,则椭圆上一点到的距离的最大值为()
A.6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.
【详解】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为,可得椭圆过点,代入方程得.
设则,
两式作差得,
即,
因为恰好是的中点,所以,又因为直线AB斜率为-1,
所以,将它们代入上式得,
则联立方程解得.
所以椭圆上一点到的距离的最大值为.
故选:D
8.若直线与曲线恰有一个公共点,则b的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意作图,根据直线与圆的位置关系,可得答案.
【详解】由曲线,可得,其中,表示以原点为圆心,半径为1的右半圆,是倾斜角为的直线,其与曲线有且只有一个公共点有两种情况:
(1)直线与半圆相切,根据,所以,结合图象,可得:;
(2)直线与半圆的下半部分相交于一个交点,由图可知.综上可知:.
故选:C.
9.已知,函数,若,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件,结合三角函数的性质可得,,从而利用即可求解.
【详解】解:令,,则或,
令,,则,
又,,
所以,,,,
因为,,
所以,,
所以,
故选:B.
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