高二数学下学期零点与交点问题-讲义（教师版）.pdf

零点与交点问题

一、课堂目标

1．熟练掌握函数零点、实根、交点的联系以及零点存在性判定定理．

2．会利用导数判断函数零点的个数．

3．会由函数零点存在的情况求参数范围．

【备注】【教师指导】

1.本堂课重点内容是会利用导数判断具体函数的零点问题；难点是利用导数判断含参函数

的零点问题，由函数零点存在的情况求参数范围.主要方法包括直接绘图法、参变分离法以

及构造法.并且学生要掌握利用零点存在性定理判断函数零点所在的区间.

2.本讲关联知识包括导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值与最值问题.

二、知识讲解

1.函数的零点与交点

【备注】【教师指导】

这部分知识点下所涉及的题目都是具体函数的，不涉及含参函数.

知识精讲

（1）函数零点、实根、交点的联系

①对于函数，使的实数叫做函数的零点．

②函数的零点就是方程实数根，即的图象与轴交点的横坐标．

即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

（2）零点存在性定理

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函在区

间内有零点，即存在，使得，这个就是方程的根．

（3）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤

方法一：直接描绘图象法

①对函数求导；

1

②求出函数的单调性，极值点与极值；

③画出函数的草图；

④数形结合，确定函数与轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．

【备注】【教师指导】

函数的图象与轴交点的横坐标称为这个函数的零点．函数的零点、方程的根及两

个函数的交点等实质上是零点问题的不同表现形式．而导数是研究函数图象和性质的一个

有力工具，通过导函数可以研究函数的单调性、极值点与极值，从而简单画出函数的图

象，故可以推出原函数与轴交点的分布情况

方法二：作差整体构造法

①构造新函数，从而将研究与的交点问题转化为研究函数的

零点问题；

②对进行求导；

③通过导函数研究函数的单调性、极值点与极值；

④从而简单画出函数的图象；

⑤故可以推出函数与轴交点的分布情况，即函数与函数的图象交点情况．

【备注】【教师指导】

（1）有几个根函数与图象有几个交点

函数图象与轴有几个零点．

（2）有几个根函数与函数图象有几个交点

函数的图象与轴有几个零点．

经典例题

1.函数在内零点的个数为（）．

A.B.C.D.

【备注】【教师指导】

这道题是运用直接描绘图象法

1.先判断定义域，求导，判断函数单调性

2.作出函数简图

3.代入区间端点值，利用零点存在性判定定理即可

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

求导函数得：，

2

∵，