高二数学上学期直线与圆锥曲线的位置关系（1）(学生版).pdf

直线与圆锥曲线的位置关系（1）

一、弦长问题

弦长公式：

设圆锥曲线与直线相交于，两点

则弦长

或

弦长问题求解方法：

特点：弦长问题主要就是直线与曲线相交情况下，求解相交线段的长度问题

在弦长问题中求解方法：

（1）根据题意，讨论特殊情况

（2）设出直线方程与交点坐标

（3）联立，关于或的方程

（4）；利用韦达定理，表示出或者

（5）利用适当的弦长公式求解

经典例题

1.已知直线与双曲线．

（1）当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的距离．

（2）若直线与双曲线交于，两点，若，求的值．

2.若直线与椭圆相交．

（1）求的范围．

（2）当截得弦长最大时，求的值．

1

巩固练习

1.斜率为的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为（）．

A.B.C.D.

2.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且抛物线过点．

（1）求抛物线的标准方程．

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，且，求直线的方程．

二、中点弦问题

解决弦的中点问题的两种方法：

（1）利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数;

（2）用设而不求法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系．

1、点差法：

（1)步骤：

①若点在曲线上，且弦的中点为

第一步：设点

第二步：代点作差，

、代入曲线，有

两式作差，得第三步：左右两边同除，得

2

整理得：(为曲线的离心率)

②若是抛物线,任意弦的中点为，则

(2)点差法基本题型：

①求以定点为中点的弦所在直线的方程

②过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题

③求与中点弦有关的圆锥曲线问题

④圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

2、三个结论

（1）结论1

如下图直线与椭圆交于两点，的中点为连接则有

（2）结论2

如下图过原点的直线与焦点在轴上的椭圆交于两点，椭圆上任意一点连接，，只要，

斜率存在，就有

（3）结论3

如下图焦点在轴上的椭圆的长轴端点为，椭圆上任意一点连接，，则有

3

经典例题

1.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．

（1）求椭圆方程．

（2）过椭圆内一点作一条弦，使该弦被点平分，求弦所在直线方程．

2.已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于、两点．

（1）若直线的方程为，求弦的长．

（2）如果的重心恰好为椭圆的右焦点，求直线方程的一般式．

4

巩固练习

已知中心在原点，顶点、在轴上，其渐近