5.1 导数的概念及其运算 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版).docx

导数的概念及其运算

1平均变化率

若某个问题中的函数关系用f(x)表示，问题中的变化率用式子Δy

则式子ΔyΔx称为函数f(x)从x

Eg函数f(x)=x2在区间[－1,2]上的平均变化率为Δy

2导数概念

函数f(x)在x=x

lim

则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作

f(

3导函数

若当x变化时，f(x)是x的函数，则称它为f(x)的导函数(简称导数)，记作f(x)或

f

4导数的计算

基本初等函数的导数公式

5导数运算法则

(1)fx

拓展：fx

记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；

(2)fx

特别：C?fx=C?

记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；

(3)fx

记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.

6复合函数的导数

对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，若通过变量u,y可以表示成x的函数，则称这个函数为函数y=f(u)和u=f(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．

复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=f(x)的导数间的关系是y

Eg若fx=ln?(x

则f

【题型一】导数概念的理解

【典题1】函数y=x2在区间[x0,x0+?x]上的平均变化率为k1

A．k1k2B．k1

【典题2】已知函数f(x)是可导函数，且f(a)=1，则limx→af(2x?a)?f(2a?x)x?a等于

【典题3】求limx→0

巩固练习

1(★)函数f(x)=x,g(x)=x2,?(x)=x3

则下面结论正确的是()

A．m1=m2=m3 B．m

2(★)某物体做自由落体运动的位移st=12g

则9.8m/s是该物体()

A．从0s到1s这段时间的平均速度 B．从1s到(1+?t)s

C．在t=1s这一时刻的瞬时速度 D．在t=?ts

3(★★)设函数f(x)可导，f1=3，则lim

4(★★)已知f(x)是f(x)的导函数，且f(1)=3，则lim?x→0f(1)?f(1+2?x)

5(★★★)求limx→0e

【题型二】导数的运算

【典题1】设函数fx的导函数是fx，若fx=

【典题2】求下列函数的导数：

(1)y=(2x2+3)(3x－1)

(3)y=－2sinx2(2

【典题3】已知函数fx=x+12+sinxx2+1，其中

【典题4】设fx=xx?1x?2x?3

【典题5】写出gx与f

1若fx+2x?30，则gx

(3)若fx+fx0，则

5若fx?lnx+1x?fx

(7)若fx?fx

巩固练习

1(★)若函数f(x)满足f(x)=13x3?f(1)?x2?x

2(★)已知函数f(θ)=sinθ2+cosθ，则f(0)=

3(★)已知函数f(x)=ln(x+1+x2)，则f(3)=

4(★★)已知函数fx=ex?cosx，设f0

5(★★)求下列函数的导数：

(1)f(x)=(3x2+1)(2－x)

6(★★★)求limx→12xlnx

7(★★★)记函数f(x)的导数为f(1)(x)，f(1)(x)的导数为f(2)(x)，…，f(n?1)(x)的导数为f(n)(x)，若f(x)可进行n次求导，则f(x)