高二数学上学期空间向量运算(教师版).pdf

空间向量运算

学习目标

1．理解空间向量概念及相关概念．

2．掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算．

3．掌握空间向量运算的坐标表示．

【备注】

1．重点是理解空间向量相关概念、掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算、掌握空

间向量运算的坐标表示；难点是空间向量的共面向量定理及空间向量运算的坐标运算的综

合运算．

2．关联知识：立体几何．

一、空间向量及其运算

1.空间向量及其运算

（1）空间向量的概念

①在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

②向量的大小叫做向量的长度或模长．

③空间向量的表示法：

几何方法：用有向线段表示；

字母表示法：用一个字母表示，如，若向量的起点是，终点是，可记作，其模记为或．

（2）其他相关概念

①零向量：长度为的向量叫做零向量，记为．

②单位向量：模长为的向量称为单位向量．

③相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向

量或相等向量．

④相反向量：与向量长度相同而方向相反的向量，为的相反向量，记为．

⑤共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向

量或平行向量．

（3）加法、减法及数乘运算

如下图：

1

①

②

③当时，

当时，

当时，

（4）线性运算满足的运算规律（）

①交换律：

②结合律：,

③分配律：,,

（5）方向向量

①空间向量共线的充要条件：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量(），

的充要条件是存在实数，使．

如图，是直线上一点，在直线上取非零向量,则对于直线上任意一点,由数乘向量的定义及向量共

线的充要条件可知，存在实数，使得λ.我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向

量．

（6）共面向量

如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.如

果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向

量．

2

共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对，使;

推论:空间一点位于平面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使;或对

空间任意一点，有;

推论:空间一点位于平面的充要条件是存在实数组，对空间任一点，有

,其中

经典例题

1.已知点，分别是空间四面体的边和的中点，为线段的中点，若

，则实数．

【备注】

本题运用向量的加法运算及数乘运算求解即可

【答案】

【解析】如图所示，

．

3

即．

故答案为：．

【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示；空间向量的线性运算（非坐标）