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2025年高考数学模拟试卷03【上海卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，

1．设集合，，，则．

2．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是．

3．已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，若，则实数．

4．曲线在点处的切线的倾斜角为．

5．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是．

6．半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为．

7．设一组样本数据，，，的方差为4，则数据，，，，的方差为．

8．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则．

9．已知直线与抛物线交于，，，两点，点，在准线上的射影分别为点，，若四边形的面积为，则．

10．对于任意两个数，，定义某种运算“◎”如下：

①当或时，◎；

②当时，◎．

则集合◎的子集个数是．

11．已知函数，则的值域为．

12．如图，已知，为的中点，分别以、为直径在的同侧作半圆，、分别为两半圆上的动点（不含端点、、，且，则的最大值为．

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。

13．已知向量，不共线，实数，满足，则

A．4 B． C．2 D．

14．已知是定义域为的奇函数，且，则

A．2020 B．0 C．2 D．

15．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大值为

A． B． C． D．

16．已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于

A． B． C．2 D．3

三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点．

（1）求证平面；

（2）若为的中点，求与所成的角．

18．（14分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，，求；

（2）若，求．

19．（14分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表：

学生本学期检测数学标准分数大于等于120分

学生本学期检测数学标准分数不足120分

合计

周做题时间不少于12小时

60

76

周做题时间不足12小时

64

合计

180

（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（2）（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．

（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．

附：参考公式和数据：，．

附表：

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，过点的直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的面积的最大值；

（3）已知直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．

21．(18分）已知常数，设．

（1）若，求函数的最小值；

（2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．

（3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件．

数学·参考答案

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，

1．，2．