2025年中考数学压轴题拔高训练 函数背景下的45°角问题.docx

函数背景下的45°角问题

问题与方法

一、当45°角的对边未知时

问题:已知A,B为定点,∠BAC=45°,点C在图形l上运动，如何确定C点的位置?

通法：依托45°，构造等腰直角三角形，再造一线三垂直(此法适用于任意已知角)

如图2-3-1,过点B作AB的垂线(图①)或AC的垂线(图②)，构造以AB为边的等腰直角三角形ABP，确定点P的位置；

在△ABP的两个直角边的外面作水平和铅垂方向的直角三角形，构造一线三垂直全等，射线AP与图形l的交点为点C，借助全等三角形求C点坐标.

例1如图2-3-2,A(4,0),B(0,2),点C在y轴负半轴上,且满足∠BAC=45°,则点C的坐标为.

【简析】在y轴负半轴上截取点D,使得BD=OA=4,过B点作BE⊥AB,且使BE=AB,如图2-3-3①所示.易知△BDE≌△AOB,所以DE=OB=2,所以点E的坐标为(-2,-2),△ABE为等腰直角三角形.求C点坐标的常用方法有两种：

①由A(4,0),E(--2,--2),得AE的解析式为y=

②易知△AOC与△ECD相似,相似比为OA:DE=2,∴OC=2CD.∴OC=

注：本题也可构造如图②所示的一线三垂直，根据△BEM≌△ABN,求出点E的坐标,而后求C的坐标.

二、当45°角所对的边已知时

问题：已知A，B为定点，点C在图形l上运动,∠ACB=45°,如何确定C点的位置?

通法1(圆周角定理):如图2-3-4①,以AB为斜边构造等腰直角三角形AOB；以O为圆心，以OA长为半径作圆，圆与图形l的交点即为点C.通法2(构造一线三垂直)：如图②，在l上取一点C，以AC为直角边构造等腰直角三角形ACD，再构造一线三垂直求解.

例2已知点A(0,4),B(0,--6),点C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C的坐标为.

【简析】思路1(圆周角定理)：构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴正半轴的交点即为所求的点C(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半).

设线段BA的中点为E,则E(0,-1).

如图2-3-5①,过点E作EP⊥BA,且使EP=12AB=5,连接PA,PB,则△PBA为等腰直角三角形，

以点P为圆心，PA长为半径作⊙P，与x轴的正半轴交于点C，则∠BCA=1

过点P作PF⊥x轴于点F,则OF=PE=5,PF=OE=1.

在Rt△PFC中,CF=PC2?P

思路2(构造一线三垂直)：由45°角联想构造等腰直角三角形和“一线三垂直”模型求解.

如图②,过点A作AD⊥AC交CB的延长线于点D,过点D作DE⊥y轴于点E.

由∠ACB=45°可知△ACD为等腰直角三角形.根据“一线三垂直”模型易证Rt△ADE≌Rt△CAO,则DE=AO=4.

设AE=CO=x,则BE=x-10,

易得△DEB∽△COB,∴4x=

解得x?=?2(舍去),x?=12,

∴C(12,0).

进阶训练

1.如图2-3-6,直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点,∠ACB=45°,则点B的坐标为.

2.如图2-3-7,抛物线y=1

(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；

(2)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.

3.如图2-3-8,抛物线y=mx2+m2+3

(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°,求点Q的坐标.

4.如图2-3-9,抛物线y=?12x2

(1)求抛物线的解析式.

(2)设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

|进阶训练|

1.(6,0)[解析]解法1:由已知可得A(1,0),C(0,3),则OC=3,OA=1.如图①,过A点作PA⊥AC,交BC于点P,过P点作PE⊥AB于点E.

由∠ACB=45°知△ACP为等腰直角三角形,AC=AP,

∵∠CAP=∠AEP=∠AOC=90°,

∴∠ACO+∠OAC=90°,∠OAC+∠PAE=90°.

∴∠ACO=∠PAE.

在△AOC和△PEA中.∠ACO=∠PAE,

∴△AOC≌△PEA.∴AE=CO=3,PE=OA=1.

∴点P坐标为(4,1).

∴直线PC的解析式为y=?1

解法2:由已知可得A(1,0),C(0,3),则OC=3,OA=1.如图②,作BP⊥CA交直线AC于P,作