2025年中考数学压轴题拔高训练 专题二 二次函数的图象与系数的关系.docx

专题二二次函数的图象与系数的关系

1.二次函数y=ax2+bx+ca≠0

2.含α，b，c的代数式的符号判断

说明：

当x=m时,y=am2+bm+c,故am2+bm+c的符号由点mam2+bm+c

同理am2?bm+c的符号由点?mam2?bm+c

(3)ma±b的符号：由对称轴的位置和a的符号决定

由对称轴x=?b

(4)含a,c(或b,c)的代数式符号判断

判断代数式的符号需要寻找不等关系，一般根据代数式中的常数，合理选择函数图象上的一点(x?，y?)，由该点在函数图象上的位置确定y?的符号，得出一个不等式.y?0(或y?0);y?是关于a，b，c的代数式，由对称轴x=?b

3.含字母系数的二次函数的定点问题

应用举例

1.二次项系数a的符号与大小

例1如图1-2-2,在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()

A.52B.32C.56

变式：条件不变，求a的最小值.

2.二次函数图象与系数的关系

例2二次函数y=ax2+bx+ca≠0

A.ac0B.4a+b=0

C.9a+c3bD.8a+7b+2c0

【问题分析】

四点中的任意三点可确定一个函数解析式→要求a的最大值，只需比较开口向上的二次函数→根据|a|越大，开口越小，判断出a最大的抛物线对应的三个点→根据三点坐标求a的值.

【问题分析】

类比例1求解，注意开口大小由|a|的大小决定，不是a的大小.

【问题分析】

分析图象：图象开口向下，得a0；对称轴为直线x=2，得?b2a=2;与y轴交于正半轴,得c0;9a+c3b,即9a-3b+c0,联想到当x=-3时的y值；对于8a+7b+2c,无法直接判断,考虑利用

例3已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1，其图象如图1-2-4J所示，现有下列结论：

①abc0;②b-2a0;③a-b+c0;

④a+bn(an+b)(n≠1);⑤2c3b.

正确的是()

A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤

变式已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0

【问题分析】

本题的难点在④⑤.由n(an+b)=an2+bn联想到y=an2+bn+c;当x=1时,y=a+b+c,此时，二次函数取得最大值，故一定有an2+bn+c≤a+b+c,注意结合条件判断等号是否可以取到；对于2c3b，根据函数图象，取x=3，可得不等式9a+3b+c0,由对称轴x=?b

【问题分析】

求取值范围实质上就是求最值(或临界值).一般思路是将M视为一个变量的函数.此题中c可求，考虑消去a，b中的一个，另一个作为函数的自变量，再求函数的最大(小)值，或利用函数的增减性比较大小.

3.二次函数定点问题

例4设函数y=m?1

求证：无论m取何值，这个函数图象必经过两个定点.

变式设二次函数y=ax2?a2+1

(1)求证：无论a取何值，该函数图象必过定点；

(2)若该函数图象上的一点(2，m)位于第一象限，求证：a0.

【问题分析】

函数图象过定点，即x的取值与m的值无关→将解析式整理：含m的项放一起(视x为常量)→令m的系数为0，求得定点的横坐标.

本题也可用图象法和特殊值法求解，同学们不妨自己试一试.

【问题分析】

此题与例4相比，难点在于不仅有a，而且有a2，故需将函数解析式按a的次数整理，整理后的式子中a2和a的系数均为0的x值为定点的横坐标.

进阶训练

1.如图1-2-5,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(2,0),且对称轴为直线x=12,有下列结论:①abc0;②a+b0;③4a+2b+3c0;④无论a,b,c取何值,抛物线一定经过(2

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图1-2-6,二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x=--1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0;②a-2b+c0;(③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为-3和1;

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.如图1-2-7所示，已知二次