2025年中考数学压轴题拔高训练 专题六 相似三角形存在性问题.docx

专题六相似三角形存在性问题

问题与方法

问题:如图3-6-1,抛物线y=?34x2+94x+3与坐标轴交于点A，B，C，连接BC，点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作.DF⊥x

【简析】由△BOC是直角三角形，知△CDE为直角三角形，本题重点在于确定点D的位置，难点是求点D的坐标.由.DF⊥x轴，知∠DEC=∠BCO,得到一组等角，于是只需要分.∠CDE=90°和∠DCE=90°两种情况讨论即可.

情形一:如图3-6-2①,当∠CDE=90°时，过点C作x轴的平行线，与抛物线的交点即为点D的位置,此时点D的纵坐标为3,∴D(3,3);

情形二：如图②，当∠DCE=90°时，过点C作BC的垂线，垂线与抛物线的交点即为点D.

解法1：如图②，易得直线BC的表达式为y=?

∵CD⊥BC,∴直线CD的表达式为y=4

联立直线CD和抛物线的表达式，解方程组可得D

解法2:如图③,过点D作DG⊥y轴于点G,设Dx?3

易证CGDBOC,∴DGOC=CGOB,即x

解法3:如图④,由于OC=3,OB=4,故考虑取点M(0,7),N(3,7),连接MN,CN,则CN与抛物线的交点即为点D.易证△CMN≌△BOC,进而得到CN⊥BC,求得CN的表达式为y=4

综上所述,当△CDE与△BOC相似时,点D有2个,其坐标为(3,3)或(11

相似三角形存在性问题的处理策略

第一步找等角：寻找两个三角形中相等的定角(有时明显，有时隐蔽)，通常定角为直角或对顶角或公共角或内

错角(同位角)，或通过互余(互补)得到的等角.

第二步分类讨论：

如图3-6-3,若已确定∠A=∠P,则要使△ABC与△PEF相似,则需分两种情形讨论：

思路1：以两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程求解(首选方法，普适性更强)：

circle1AB

思路2：另两个内角分两类对应相等：①∠B=∠E；②∠B=∠F，再用角的转化进行处理.

求点的坐标的常用方法：

①设动点坐标，用动点横坐标表示动态三角形的边，再由相似三角形对应边成比例构造方程，通常用与等角相邻的两边来列比例式；

②求直线表达式，与抛物线表达式联立，解方程组得到交点坐标.

应用举例

例1如图3-6-4,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.

(1)求二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式.

(2)连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【问题分析】

对于第(2)问，①找定角：由PF∥DE可得∠CFP=∠CED.②分类:当∠PCF=∠CDE时,△PCF∽△CDE;由图可知∠PCF∠DCE,故∠PCF≠∠DCE.故本题只有一种情况.

例2如图3-6-5，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=?x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴，交BC于点F，交二次函数y=ax2+2x+c的图象于点E.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C，E，F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度.

【问题分析】

对于(2)，找等角：分析两个三角形,由直线y=-x+3知∠OBC=45°,故∠OBC=∠MFB=∠CFE=45°,所以若△CEF与△ABC相似,则B和F为对应点，找到等角；

分类讨论：

①△ABC∽△CFE;

②△ABC∽△EFC,分别列出比例式.设Em?m2+2m+3,

【问题分析】

例3如图3-6-6,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.

对于(2),△BOF确定,且有一个特殊角∠BOF=45°(隐含条件，也是求解本题的关键条件)，OB,OF的长可求.再看△POC,O,C为定点,P为y轴上一动点,由C点坐标可知OC与y轴负半轴的夹角，进而利用△POC与△BOF相似可求点P的坐标.

进阶训练

1.如图3-6-7,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限内的抛物线上一点，设P点的横坐标为m.