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专题五与函数有关的动点问题
知识与方法
1.有关变量间的变化关系问题
基本策略:
(1)抓住问题中的“起始点、临界点、转折点与结束点”等关键点排除部分选项;
(2)分析函数类型,结合函数图象求解,或求出函数表达式,根据表达式求解.
2.有关线段长度(或图形面积)的最值问题
基本思路:
(1)设自变量;(2)建立函数模型(一般为二次函数);(3)确定自变量的取值范围;(4)利用函数性质求最值.
应用举例
1.有关变量间的变化关系
例1如图1-5-1①,在Rt△ABC中,∠A=90°,点P从点A出发,沿三角形的边以1cm/s的速度逆时针运动一周,图②是点P运动时,线段AP的长度y(cm)随运动时间x(s)变化的关系图象,则图②中P点的坐标是()
A.(13,4.5)B.(13,4.8)C.(13,5)D.(13,5.5)
变式如图1-5-2,在矩形ABCD中,BC=1,∠ADB=60°,动点P沿折线AD→DB运动到点B,同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C,点P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度,点P,Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒,△PBQ的面积为S,则图1-5-3中能大致反映S与t之间函数关系的是
【问题分析】
求解此类问题关键是明确两个图形的对应关系,重点关注函数图象的转折点,即“拐点”.图②中的图象有三段,分别对应图①中的线段AB,BC,AC.第一个拐点为B(点P到达点B时改变运动路径),故AB=8.第二个拐点为C,对应x=18=AB+BC.结合P点的横坐标可得AP的长.
【问题分析】
易知AD=1,BD=2,故当点P在AD上时,点Q在DB上;当点P在BD上时,点Q在BC上.利用三角形面积公式分别求出点P在AD,BD上时S与t的函数表达式,可得结论.
2.有关线段长度的最值问题
例2如图1-5-4,等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,BC=8.
(1)求腰AB的长;
(2)P是边BC上的动点(不与点B,C重合),∠APE=∠B=∠C,PE交AC于点E.求线段CE的最大值.
【问题分析】
(1)利用垂径定理可得AB的长.
(2)求线段CE的最大值可考虑利用函数思想,借助一线三等角相似,找出CE的函数表达式再求函数的最值.
3.有关图形面积的最值问题
例3问题提出
(1)如图1-5-5①,在?ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=5,求四边形ABFE的面积(结果保留根号).
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图②所示,现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由.
【问题分析】
(1)直接利用面积差求解.
(2)延长AE,CD,构造矩形,利用面积差求解.
进阶训练
1.如图1-5-6,直线m∥n,AB⊥m,AB=2,P是AB的中点,C,D分别是直线m,n上的动点(不与点A,B重合),且满足PC⊥PD,设AC=x,BD=y,则y与x的函数图象是图1-5-7中的()
2.如图1-5-8①,矩形ABCD中,E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图②是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为()
A.4B.5C.6D.7
3.如图1-5-9,线段AB=10,点C,D在AB上,AC=BD=1.已知点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动,到达点D后停止移动.在点P移动过程中作如下操作:先以点P为圆心,PA,PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形,再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面,设点P的移动时间为t(秒),两个圆锥的底面面积之和为S,则S关于
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