经济数学—概率论与数理统计课件：二维随机变量及其分布.pptx

二维随机变量及其分布;

1．定义：

随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e),X2(e)为定义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做二维随机变量或二维随机向量。

;定义：若对任意xk∈R,k=1,2,称二元函数;

(3)二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=P{Xx,Yy}在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。;

(1).F(x,y)是变量x和y的不减函数,即

对于任意固定的y,当x2x1时，F(x2,y)≥F(x1,y)；

对于任意固定的x,当y2y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)且0≤F(x,y)≤1。

因为{X≤x1,Y≤y}?{X≤x2,Y≤y}.

(2).对于任意固定的y,F(-∞,y)=0；

对于任意固定的x,F(x,-∞)=0；

F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。;

(3).F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续.;0x1x2x;1．定义：

若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.

若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为(Xi,Yj),i,j=1,2,…

记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

则称下列一组等式

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…为随机向量(X,Y)的(联合)分布律.

;常用表格表示(X,Y)的分布律：;(1).pij≥0,i,j=1,2,…

(2)，;例1:一整数X，随机地在1，2，3，4四个数中取任一值，另一整数Y随机地在1—X中取值，求(X,Y)的分布率。

解：;

若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

则(X,Y)的分布函数为

;例若(X,Y)的分布律如下表，;1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有

;(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有;例1:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度;(ii)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标.即有

{Y≤X}={(X,Y)∈G}

其中G为xy平面上直线y=x下方的部分,如图,于是;例2:向一个无限平面靶射击,设命中点(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=A/(1+x2+y2)2,求：(1)常数A；(2)命中点与靶心距离不超过r0的概率.

解:(1)由概率密度的性质知;(2)依题意需求概率;设G是平面上的??界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度;若二维随机变量（X,Y）具有概率密度;例若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求:(X,Y)的联合概率密度。